Wyznaczanie wzoru na sumę szeregu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Wyznaczanie wzoru na sumę szeregu

Post autor: bartekw2213 » 23 sty 2021, o 17:59

Witam, na podstawie poniższego przykładu - czy mój sposób wyznaczania wzoru na sumę szeregu jest poprawny? Czy popełniam w którymś miejscu błąd teoretyczny?


Weźmy sobie na warsztat szereg o takiej postaci:
\(\displaystyle{ \quad \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^nx^n}\)


To co robię to przyrównuję sobie podany szereg do \(f(x)\), które symbolizuje szukany wzór na sumę szeregu. Lewą stronę równania próbuję sobie sprowadzić do postaci szeregu geometrycznego \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }x^n}\)


\(\displaystyle{
\begin{align*}
\sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^nx^n &= f(x) \quad / \int \mbox{...} dx \\
\sum_{n=2}^{ \infty }\frac{(n+1)}{(n+1)}3^nx^{n+1} &= \int f(x)dx \\
\sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^nx &= \int f(x)dx \\
(3x)^2x + (3x)^3x + (3x)^4x + \mbox{...} &= \int f(x)dx \leftarrow \mbox{po lewej stronie zauważam szereg geometryczny gdzie } \quad a_1 = (3x)^2x \quad \wedge \quad q = 3x \\
\frac{(3x)^2x}{1 - 3x} &= \int f(x)dx \leftarrow \mbox{ użyłem wzoru na sumę szeregu geometrycznego } S = \frac{a_1}{1 - q} \\
f(x) &= \left( \frac{(3x)^2x}{1 - 3x}\right) ' = \frac{27x^2(1-4x)}{(1-3x)^2}
\end{align*}
}\)



Czy w którymś miejscu popełniłem błąd?
Ostatnio zmieniony 23 sty 2021, o 22:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3513
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: Wyznaczanie wzoru na sumę szeregu

Post autor: Janusz Tracz » 23 sty 2021, o 21:44

Ogólnie jest nieźle. Ale można się przyczepić do pewnych przejść. Najpoważniejsze przewinienie to scałkowanie stronami całką nieoznaczoną i brak stałej. W sensie teoretycznie wszystko się zgadza ale dlaczego? Przecież jak całkujesz to powinna gdzieś się pojawiać stała całkowania. Dlaczego się nie pojawiła? Z tego można się wytłumaczyć na kilka sposobów. Poza tym jest ok modulo fakty odnośnie całkowania/różniczkowania szeregów potęgowych.

bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Re: Wyznaczanie wzoru na sumę szeregu

Post autor: bartekw2213 » 23 sty 2021, o 22:22

Janusz Tracz pisze:
23 sty 2021, o 21:44
Najpoważniejsze przewinienie to scałkowanie stronami całką nieoznaczoną i brak stałej. W sensie teoretycznie wszystko się zgadza ale dlaczego?
W jaki inny "ładniejszy" sposób mógłbym to zapisać?
Janusz Tracz pisze:
23 sty 2021, o 21:44
Przecież jak całkujesz to powinna gdzieś się pojawiać stała całkowania. Dlaczego się nie pojawiła? Z tego można się wytłumaczyć na kilka sposobów.
Jak na egzaminie mógłbym wytłumaczyć brak stałej całkowania?
Janusz Tracz pisze:
23 sty 2021, o 21:44
Poza tym jest ok modulo fakty odnośnie całkowania/różniczkowania szeregów potęgowych.
Czyli otrzymany przeze mnie wynik jest wynikiem poprawnym?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3513
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: Wyznaczanie wzoru na sumę szeregu

Post autor: Janusz Tracz » 23 sty 2021, o 22:52

bartekw2213 pisze:
23 sty 2021, o 22:22
W jaki inny "ładniejszy" sposób mógłbym to zapisać?
Nie ładniejszy tylko poprawny. Możesz równość

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^n\xi^n = f(\xi)}\)

scałkować stronami w przedziale od zera do \(\displaystyle{ x}\)* czyli mamy

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^n\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^n\int_{0}^{x}\xi^n \dd \xi= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }3^nx^{n+1}= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

\(\displaystyle{ x\sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n}= \int_{0}^{x} f(\xi) \dd \xi}\)

teraz różniczkujesz stronami i dostajesz:

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x } \left( x \underbrace{ \sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n}}_{\text{to umiesz policzyć}}\right) =f(x)}\)

Ostatecznie sprowadza się to do tego samego ale nie ma problemu ze stałą całkowania bo mamy całki oznaczone.
bartekw2213 pisze:
23 sty 2021, o 22:22
Jak na egzaminie mógłbym wytłumaczyć brak stałej całkowania?
Tak jak zrobiłem to powyżej. Wtedy nawet nie ma mowy o stałej całkowania. Przy czym ja bym nie wprowadzał w ogóle funkcji \(\displaystyle{ f}\) tylko pisał bym po kolei

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }(n+1)3^nx^n= \sum_{n=2}^{ \infty }3^n \frac{ \dd }{ \dd x }\left( x^{n+1}\right) = \frac{ \dd }{ \dd x }\left(\sum_{n=2}^{ \infty }3^n x^{n+1}\right) = \frac{ \dd }{ \dd x }\left( x\sum_{n=2}^{ \infty }(3x)^{n}\right) }\)

nie ma \(\displaystyle{ f}\), nie ma całki, nie ma stałych całkowania, nie ma problemów.
bartekw2213 pisze:
23 sty 2021, o 22:22
Czyli otrzymany przeze mnie wynik jest wynikiem poprawnym?
Nie sprawdzałem obliczeń ale wygląda dobrze. Ideowo jest ok.

*formalnie trzeba jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ale gdy \(\displaystyle{ x \le 0}\) to wszystko robi się dokładnie tak samo i sytuacja jest symetryczna

ODPOWIEDZ