Wzór na sumę szeregu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
bartekw2213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 1 paź 2020, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 33 razy

Wzór na sumę szeregu

Post autor: bartekw2213 »

Witam, mam problem ze znalezieniem wzoru na sumę poniższego szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{x^n}{(n+2)4^n}}\)
To co zrobiłem do tej pory to zapisałem sobie ten szereg w takiej postaci i przyrównałem go do szukanej sumy czyli funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{(n+2)}(\frac{x}{4})^n = f(x)}\)
Następnie poprzez całkowanie i liczenie pochodnej próbowałem jakoś pozbyć się tego \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+2)}}\) i otrzymać szereg geometryczny z lewej strony równania, stąd wiedziałbym już jak policzyć sumę pierwotnego szeregu.

Jak dojść do postaci szeregu geometrycznego? A może powinienem był obrać kompletnie inną metodę?
Ostatnio zmieniony 11 lut 2021, o 12:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie manipuluj wielkością czcionki.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wzór na sumę szeregu

Post autor: a4karo »

Pomóż obie strony przez `(x/4)^2` i zrozniczkuj
Mlodociany calkowicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 sty 2021, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Pomógł: 2 razy

Re: Wzór na sumę szeregu

Post autor: Mlodociany calkowicz »

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{x^n}{(n+2)4^n} = \sum_{n=0}^{ \infty }y\int_0^1 y^{n+1}\frac{x^n}{4^n} =\int_0^1y \sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{xy}{4})^ndy[ = \int_0^1 \frac{y}{1 - \frac{xy}{4}}dy = \frac{4}{x}\int_0^1 \frac{y}{\frac{4}{x} - y}dy = -\frac{4}{x} + \frac{16}{x^2}\int_0^1 \frac{dy}{\frac{4}{x} - y} = -\frac{4}{x} - \frac{16}{x^2} \ln (\frac{4}{x} - 1) + \frac{16}{x^2} \ln\frac{4}{x}}\)
ODPOWIEDZ