Proszę o wskazówki jak zabrać się za poniższe zadanie:
Zakładając, że szukane funkcje można przedstawić w postaci zbieżnego szeregu potęgowego, znaleźć kilka początkowych wyrazów szeregu, którego suma jest:
(1) rozwiązaniem równania różniczkowego \(\displaystyle{ y''+y=0}\) z warunkami \(\displaystyle{ y(0) = 1, y'(0) = 1}\);
(2) rozwiązaniem równania funkcyjnego \(\displaystyle{ f(x + y) = f(x) + f(y)}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ f(1) = 3}\);
(3) całką oznaczoną \(\displaystyle{ \int_{0}^{x} e^{t^2} dt}\);
(4) funkcją odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x + e^x}\).
początkowe wyrazy szeregu o danej sumie
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 26 paź 2020, o 19:32
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 1 raz
początkowe wyrazy szeregu o danej sumie
Ostatnio zmieniony 9 mar 2021, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy
Re: początkowe wyrazy szeregu o danej sumie
(1) Tu musisz wpierw wyznaczyć równanie charakterystyczne i jego pierwiastki:
mamy \[ w(\lambda)=\lambda^{2}=1=0\Leftrightarrow \lambda=i \vee \lambda=-i \]
jego układ fundamentalny to \[y_{1}(t)=\cos t, \ y_{2}(t)=\sin t. \]
Rozwiązanie ogólne to \[ y(t)=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t \] teraz tylko uwzględniasz warunki początkowe.
(2) Tu skorzystaj z twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania \[f(x+y)=f(x)+f(y). \]
mamy \[ w(\lambda)=\lambda^{2}=1=0\Leftrightarrow \lambda=i \vee \lambda=-i \]
jego układ fundamentalny to \[y_{1}(t)=\cos t, \ y_{2}(t)=\sin t. \]
Rozwiązanie ogólne to \[ y(t)=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t \] teraz tylko uwzględniasz warunki początkowe.
(2) Tu skorzystaj z twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania \[f(x+y)=f(x)+f(y). \]
Ostatnio zmieniony 9 mar 2021, o 01:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: początkowe wyrazy szeregu o danej sumie
Chyba nie o to chodzi:
Napisz `y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n`. Stąd \(\displaystyle{ y''=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 0=\sum_{n=0}^\infty \left[a_n+(n+1)(n+2)a_{n+2}\right]x^n}\)
`a_0` i `a_1` wyliczysz z warunków początkowych, a potem już po kolei `a_2, a_3,...`
Dodano po 3 minutach 8 sekundach:
3) Napisz `\int_0^x e^{t^2}dt=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n` i różniczkuj obie strony. Kolejne współczynniki znajdziesz wstawiając `x=0`
Napisz `y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n`. Stąd \(\displaystyle{ y''=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 0=\sum_{n=0}^\infty \left[a_n+(n+1)(n+2)a_{n+2}\right]x^n}\)
`a_0` i `a_1` wyliczysz z warunków początkowych, a potem już po kolei `a_2, a_3,...`
Dodano po 3 minutach 8 sekundach:
3) Napisz `\int_0^x e^{t^2}dt=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n` i różniczkuj obie strony. Kolejne współczynniki znajdziesz wstawiając `x=0`
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy