początkowe wyrazy szeregu o danej sumie

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
klejdyszklaudia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 paź 2020, o 19:32
Płeć: Kobieta
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

początkowe wyrazy szeregu o danej sumie

Post autor: klejdyszklaudia » 25 lis 2020, o 14:56

Proszę o wskazówki jak zabrać się za poniższe zadanie:

Zakładając, że szukane funkcje można przedstawić w postaci zbieżnego szeregu potęgowego, znaleźć kilka początkowych wyrazów szeregu, którego suma jest:
(1) rozwiązaniem równania różniczkowego \(\displaystyle{ y''+y=0}\) z warunkami \(\displaystyle{ y(0) = 1, y'(0) = 1}\);
(2) rozwiązaniem równania funkcyjnego \(\displaystyle{ f(x + y) = f(x) + f(y)}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ f(1) = 3}\);
(3) całką oznaczoną \(\displaystyle{ \int_{0}^{x} e^{t^2} dt}\);
(4) funkcją odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x + e^x}\).
Ostatnio zmieniony 9 mar 2021, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
epicka_nemesis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 419
Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 28 razy

Re: początkowe wyrazy szeregu o danej sumie

Post autor: epicka_nemesis » 9 mar 2021, o 00:36

(1) Tu musisz wpierw wyznaczyć równanie charakterystyczne i jego pierwiastki:
mamy \[ w(\lambda)=\lambda^{2}=1=0\Leftrightarrow \lambda=i \vee \lambda=-i \]
jego układ fundamentalny to \[y_{1}(t)=\cos t, \ y_{2}(t)=\sin t. \]
Rozwiązanie ogólne to \[ y(t)=C_{1}\cos t+C_{2}\sin t \] teraz tylko uwzględniasz warunki początkowe.
(2) Tu skorzystaj z twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania \[f(x+y)=f(x)+f(y). \]
Ostatnio zmieniony 9 mar 2021, o 01:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: początkowe wyrazy szeregu o danej sumie

Post autor: a4karo » 9 mar 2021, o 04:54

Chyba nie o to chodzi:
Napisz `y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n`. Stąd \(\displaystyle{ y''=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 0=\sum_{n=0}^\infty \left[a_n+(n+1)(n+2)a_{n+2}\right]x^n}\)
`a_0` i `a_1` wyliczysz z warunków początkowych, a potem już po kolei `a_2, a_3,...`

Dodano po 3 minutach 8 sekundach:
3) Napisz `\int_0^x e^{t^2}dt=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n` i różniczkuj obie strony. Kolejne współczynniki znajdziesz wstawiając `x=0`

Awatar użytkownika
epicka_nemesis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 419
Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 28 razy

Re: początkowe wyrazy szeregu o danej sumie

Post autor: epicka_nemesis » 9 mar 2021, o 15:32

Ups, masz rację a4karo

ODPOWIEDZ