Proszę o pomoc w wyznaczeniu funkcji granicznej i zbadaniu charakteru zbieżności ciągów funkcyjnych określonych na \(\displaystyle{ [0,1]}\).
* \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{2nx}{1+ n^{2}\cdot x^{2} } }\)
* \(\displaystyle{ f_n(x)= \frac{ x^{2} }{x ^{2} + (n\cdot x-1) ^{2} } }\)
Funkcja graniczna,charakter zbieżności
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 25 mar 2020, o 20:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 25
Funkcja graniczna,charakter zbieżności
Ostatnio zmieniony 19 lis 2020, o 19:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Temat umieszczony w złym dziale.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Funkcja graniczna,charakter zbieżności
Jeśli chodzi o zbadanie zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego, to wystarczy sprawdzić, czy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}(\sup_{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f(x)|)=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest granicą punktową ciągu \(\displaystyle{ (f_{n})(x)}\).
Możesz zacząć od wyznaczenia granic punktowych, a potem poszukać tych supremów (funkcja dla każdego \(\displaystyle{ n}\) jest ciągła, a zbiór zwarty, więc będą osiągnięte) za pomocą rachunku różniczkowego (można też użyć nierówności między średnimi, ale akurat te przykłady są tak dobrane, że to zadziała, a nie zawsze tak będzie). Na przykład w pierwszym granicą punktową na \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}(\sup_{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f(x)|)=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest granicą punktową ciągu \(\displaystyle{ (f_{n})(x)}\).
Możesz zacząć od wyznaczenia granic punktowych, a potem poszukać tych supremów (funkcja dla każdego \(\displaystyle{ n}\) jest ciągła, a zbiór zwarty, więc będą osiągnięte) za pomocą rachunku różniczkowego (można też użyć nierówności między średnimi, ale akurat te przykłady są tak dobrane, że to zadziała, a nie zawsze tak będzie). Na przykład w pierwszym granicą punktową na \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Funkcja graniczna,charakter zbieżności
Policz \(\displaystyle{ f_n\left( \frac{1}{n} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n} \right) }\) . Ta wskazówka tyczy się każdego podpunktu. Wtedy nie tzreba liczyć supermów bo w szczególności:
\(\displaystyle{ \left( \forall n\in\NN\right) \sup_{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f(x)| \ge \left| f_n\left( \frac{1}{n}\right) -f\left( \frac{1}{n}\right)\right| }\)