Szereg z arcusem

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Szereg z arcusem

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2 (\arcsin(x) )^2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)! ^2}{(2n)! } (2x)^{2n} }\).
Ostatnio zmieniony 10 lis 2020, o 00:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Szereg z arcusem

Post autor: Premislav »

Na stacku pokazano, jak to uzyskać z doprawdy zadziwiającej i cieszącej oko własności
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{\mbox{d}t}{1-x^{2}+x^{2}t^{2}}=\frac{\arcsin x}{x\sqrt{1-x^{2}}}}\)
Właściwie esencją jest dostrzeżenie nietrudnej w dowodzie, ale nie tak łatwej do wyciągnięcia z kapelusza, jeśli się nie wie, że warto to zrobić, tożsamości
\(\displaystyle{ \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)=\arcsin x}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ x}\).

Jakieś inne pomysły :?: Kiedy próbowałem zwyczajnie skorzystać z iloczynu Cauchy'ego szeregów, to napotkałem problem zwinięcia sumy, która nie padła ugodzona żadnymi gammami, betami i innymi syfami… Oczywiście jak ma się wynik zadania, i ma się tę sumę z iloczynu Cauchy'ego, to pewnie można przepchnąć jakąś bardzo żmudną indukcję, ale przecież nie o to chodzi.
ODPOWIEDZ