Czy istnieje szereg ułamkowy graniczny?

[Morgotheron]

Mam do was nietypowe pytanie.
Załóżmy mamy szeregi
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} }\) który jest rozbieżny

Mamy też szereg zbiegający do jedynki
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{ 2^{n} } }\)

No i właśnie czy istnieje taki szereg, który jest na pograniczu pomiędzy tymi dwoma. Nie można określić jego zbieżności albo rozbieżności i każdy powyżej to byłby szereg rozbieżny do nieskończoności, a każdy poniżej to szereg zbieżny do jedynki.

[Jan Kraszewski]

A co to znaczy "szereg poniżej" i "szereg powyżej"?

Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{ 2^{n-1}}}\) zbieżny do dwójki jest "powyżej" szeregu \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{ 2^n}}\) ?

JK

[Dasio11]

Żaden szereg graniczny nie może istnieć w następującym sensie:

1. Jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest szeregiem zbieżnym o wyrazach dodatnich, to istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ b_n \to \infty}\), że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot b_n}\) (który jest, jak to mówisz, "powyżej" tego pierwszego) również jest zbieżny.

2. Jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) jest szeregiem rozbieżnym o wyrazach dodatnich, to istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ b_n \to \infty}\), że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n}}\) też jest rozbieżny.


Jeśli zaś chodzi o konkretne szeregi, to kiedyś myślałem trochę nad zbieżnością pewnego szeregu, który wydaje się leżeć "blisko granicy" między szeregami zbieżnymi i rozbieżnymi, ale ostatecznie nie znalazłem odpowiedzi.