Mam szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!}}\) i mam znaleźć funkcję, którą w niego rozwinięto.
Na kolokwium to zadanie było w postaci abcd, więc po prostu każdą funkcję rozwijałem w szereg potęgowy, aż trafiłem na odpowiednią. Zastanawiam się czy jednak nie da się jakoś zwinąć tego szeregu, aby dostać szukaną funkcję?
Znajdź funkcję, którą rozwinięto w podany szereg
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Znajdź funkcję, którą rozwinięto w podany szereg
Jest parę sposobów:
1. Zauważyć, że \(\displaystyle{ (2n)!! = n! 2^n}\), stąd
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( - \frac{x^2}{2} \right)^n \cdot \frac{1}{n!} = \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right).}\)
2. Napisać równanie różniczkowe, które powyższy szereg spełnia:
\(\displaystyle{ f'(x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!} \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n-1}}{(2n-2)!!} = -x \cdot f(x).}\)
Rozwiązując standardowymi metodami, dostajemy \(\displaystyle{ f(x) = Ce^{-\frac{x^2}{2}}}\) i stałą \(\displaystyle{ C}\) znajdujemy przez obliczenie wartości szeregu w zerze.
1. Zauważyć, że \(\displaystyle{ (2n)!! = n! 2^n}\), stąd
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( - \frac{x^2}{2} \right)^n \cdot \frac{1}{n!} = \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right).}\)
2. Napisać równanie różniczkowe, które powyższy szereg spełnia:
\(\displaystyle{ f'(x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!} \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n-1}}{(2n-2)!!} = -x \cdot f(x).}\)
Rozwiązując standardowymi metodami, dostajemy \(\displaystyle{ f(x) = Ce^{-\frac{x^2}{2}}}\) i stałą \(\displaystyle{ C}\) znajdujemy przez obliczenie wartości szeregu w zerze.