Szereg Laurenta - rozwinięcie funkcji

[barczar]

Dzień dobry. Proszę o pomoc

Korzystając z gotowych rozwinięć funkcji \(\displaystyle{ f(z)= e^{ \frac{1}{z} }}\) rozwinąć w szereg Laurenta funkcje \(\displaystyle{ f(z)=ze^{ \frac{1}{z} }}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ a_{-1}}\)

Mam tyle
\(\displaystyle{ z \left( 1+ \frac{1}{z} + \frac{1}{ z^{2} 2!}+ \ldots + \frac{1}{ z^{n}n! } \right) = z+1+ \frac{1}{z} + \ldots +\frac{1}{ z^{n-1}n! } }\)

Dziękuję

[Premislav]

No OK, tylko dlaczego ta suma jest skończona u Ciebie?
Mamy
\(\displaystyle{ e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!}, \ z\neq 0}\), czyli
\(\displaystyle{ ze^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{1-n}}{n!}}\)
i jak rozwiążesz równanie
\(\displaystyle{ 1-n=-1}\), to przekonasz się, jakie \(\displaystyle{ n}\) podstawić, by dostać współczynnik przy \(\displaystyle{ z^{-1}}\)

[barczar]

Dziękuję. Nie rozumiem ostatniej linijki. Mógłbyś to rozpisać?

[Premislav]

Czego konkretnie nie rozumiesz? Masz znaleźć \(\displaystyle{ a_{-1}}\), czyli współczynnik przy \(\displaystyle{ -1}\) w rozwinięciu w szereg Laurenta (jak kto woli, residuum). \(\displaystyle{ a_{-1}}\) stoi przy n-tym wyrazie, gdzie \(\displaystyle{ z^{1-n}=z^{-1}}\), tj. \(\displaystyle{ 1-n=-1}\), czyli \(\displaystyle{ n=2}\).
No czyli ten współczynnik to \(\displaystyle{ \frac{1}{2!}}\). Przecież to nie jest trudne.