Proszę o pomoc w poniższym zadaniu. Umiem rozwijać funkcje w szereg Fouriera, jednak nie wiem jak w tym przypadku podejść do tego zadania.
Funkcję \(\displaystyle{ f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}}\) daną wzorem:
1) \(\displaystyle{ f(x)=1}\)
2) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\pi - x}{2}}\)
3) \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\)
przedstawić w postaci
a) szeregu trygonometrycznego sinusów
b) szeregu trygonometrycznego cosinusów
c) szeregu trygonometrycznego mieszanego (sinusów i cosinusów)
Rozwinięcie w szeregi trygonometryczne sinusów i cosinusów
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7916
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozwinięcie w szeregi trygonometryczne sinusów i cosinusów
Zadanie 1
a)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) nieparzyście
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -1, \ \ -\pi \leq x <0 \\ 1, \ \ 0 \leq x < \pi \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ f(x) = f(x +2\pi), \ \ L = \pi. }\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin\left( \frac{n\pi}{L}\right) dx }\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{0} -\sin(nx)dx + \int_{0}^{\pi} \sin(nx) dx \right] = \frac{1}{\pi} \left( \left[ \frac{\cos(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ \frac{-\cos(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} \right) }\)
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{1}{n\pi} \left ( \cos(0) - \cos(-n \pi) - \cos(n\pi)+ \cos(0) \right) = \frac{2}{n\pi}\left[1 -\cos(n\pi) \right] = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} \ \ \mbox{gdy,} \ \ n \in NPAR \\ 0 \ \ \mbox{gdy,} \ \ n \in PAR \end{cases} }\)
Te dwa przypadki wartości współczynnika \(\displaystyle{ b_{n} }\) możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{4}{\pi(2n-1)}, \ \ n =1,2,... }\)
Rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f }\) w szereg sinusów
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nx) }\)
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin[(2n-1)x]}{2n -1}.}\)
b)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) parzyście i rozwijamy w szereg trygonometryczny Fouriera według kosinusów.
c)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) parzyście i nieparzyście i rozwijamy w szereg trygonometryczny Fouriera - mieszany (według sinusów i kosinusów).
a)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) nieparzyście
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -1, \ \ -\pi \leq x <0 \\ 1, \ \ 0 \leq x < \pi \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ f(x) = f(x +2\pi), \ \ L = \pi. }\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin\left( \frac{n\pi}{L}\right) dx }\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{0} -\sin(nx)dx + \int_{0}^{\pi} \sin(nx) dx \right] = \frac{1}{\pi} \left( \left[ \frac{\cos(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ \frac{-\cos(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} \right) }\)
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{1}{n\pi} \left ( \cos(0) - \cos(-n \pi) - \cos(n\pi)+ \cos(0) \right) = \frac{2}{n\pi}\left[1 -\cos(n\pi) \right] = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} \ \ \mbox{gdy,} \ \ n \in NPAR \\ 0 \ \ \mbox{gdy,} \ \ n \in PAR \end{cases} }\)
Te dwa przypadki wartości współczynnika \(\displaystyle{ b_{n} }\) możemy zapisać jako
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{4}{\pi(2n-1)}, \ \ n =1,2,... }\)
Rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f }\) w szereg sinusów
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nx) }\)
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin[(2n-1)x]}{2n -1}.}\)
b)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) parzyście i rozwijamy w szereg trygonometryczny Fouriera według kosinusów.
c)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) parzyście i nieparzyście i rozwijamy w szereg trygonometryczny Fouriera - mieszany (według sinusów i kosinusów).