Liczenie szeregów

[arek1357]

Jak w temacie obliczyć sumy:

a). \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{kn(k+n)} }\)

b). \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{kn(k-n)} }\) , dla.: \(\displaystyle{ k \neq n}\)

[a4karo]

Napisz parę pierwszych wyrazow dla `k=1`. Zauważasz coś?
Potem zrób to samo dla kolejnych `k`

Dodano po 2 minutach 12 sekundach:
A ta druga suma nie ma sensu

Dodano po 1 godzinie 31 minutach 14 sekundach:
ok. ma sens

[Gosda]

Ja to zrobiłem i jeszcze nie widzę tej zależności. Mamy

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{1 \cdot n \cdot (1 + n)} = 1 - 2 \log 2}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2 \cdot n \cdot (2 + n)} = \frac 18}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3 \cdot n \cdot (3 + n)} = \frac{5}{54} - \frac 29 \log 2}\)

(I tak dalej). Chyba że chodzi o wypisanie wyrazów podwójnego szeregu i sprytną zmianę zmiennych?

Dodano po 4 godzinach 36 minutach 29 sekundach:
Okej, mam:

\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{k \cdot n \cdot (n+k)} = \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{a_k}{k b_k} + \frac{c_k}{k} \cdot \log 2,}\)

gdzie \(a_k\) to licznik ułamka \(1 - 1/2 + 1/3 - \ldots + (-1)^{k+1}/k\), dalej \(b_k = k \cdot \textrm{NWW}(1, 2, \ldots, k)\), wreszcie \(c_k = 0\) dla parzystych indeksów oraz \(c_k = -2 / k\) w pozostałych przypadkach. Myślę, co dalej.

[arek1357]

Dosyć obiecująco to wygląda Gosda, a4Karo czemu suma b nie ma sensu? sumujesz najpierw po n potem po k i otrzymujesz coś takiego:

\(\displaystyle{ \sum_{k \neq 1}^{ \infty } \frac{1}{1k(k-1)} + \sum_{k \neq 2}^{ \infty } \frac{1}{2k(k-2)}+ \sum_{k \neq 3}^{ \infty } \frac{1}{3k(k-3)}+ ...}\)

Co sugeruje że suma sum będzie nieskończona...

ale gdyby zmienić b na: b':

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{kn(n-k)} }\)

To może by było jeszcze ciekawiej...