Ciągłość funkcji a granica ciągu funkcyjnego.

[Maciek6997]

Dzień dobry,
Mam do udowodnienia następującą własność i nie za bardzo wiem jak się za nią zabrać niestety.

Przypuśćmy że\(\displaystyle{ f}\) jest prawie wszędzie ciągła. Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) niech \(\displaystyle{ P_{n}}\) będzie podziałem \(\displaystyle{ [a,b] }\)dzielącym \(\displaystyle{ [a,b]}\) na \(\displaystyle{ 2^{n}}\) części równej długości. Użyjmy tych części \(\displaystyle{ P_{n}}\) do skonstruowania ciągów funkcyjnych \(\displaystyle{ g_{n}}\) \(\displaystyle{ h_{n}}\) na \(\displaystyle{ [a,b]}\) takie, że \(\displaystyle{ g_{n} }\) i \(\displaystyle{ h_{n}}\) są równe \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ a}\) oraz będą stałe na każdym przedziale \(\displaystyle{ (a_{i-1},a_{i}]}\) ustalonym przez podział \(\displaystyle{ P_{n}}\), o odpowiadających wartościach \(\displaystyle{ \inf\{f(x):a_{i-1} \leq x \leq a_{i}\}}\) i \(\displaystyle{ \sup\{f(x):a_{i-1} \leq x \leq a_{i}\}}\).
Udowodnić, że Relacja \(\displaystyle{ f(x)=\lim\limits_{n}g_{n}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=\lim\limits_{n}h_{n}(x)}\) jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x}\) dla których \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła więc dla prawie każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do \(\displaystyle{ [a,b] }\)

Wydaję mi się, że \(\displaystyle{ \lim\limits_{n}g_{n}(x)}\) to będzie granica dolna \(\displaystyle{ f(x)}\) natomiast \(\displaystyle{ \lim\limits_{n}h_{n}(x)}\) będzie granicą górną i skoro \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciagła w \(\displaystyle{ x}\) to mają wspólną wartość równą \(\displaystyle{ f(x)}\). Jednocześnie nie wiem czemu dzielimy \(\displaystyle{ [a,b]}\) na \(\displaystyle{ 2^{n}}\) podprzedziały równej długości.

[matmatmm]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f:[a,b]\rightarrow\RR}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0\in[a,b]}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}g_n(x_0)=f(x_0)}\). Jeśli \(\displaystyle{ x_0=a}\), teza jest oczywista. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_0\in(a,b]}\).

Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) takie, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in [a,b]}\): jeśli \(\displaystyle{ |x-x_0|<\delta}\), to \(\displaystyle{ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon}\). Istnieje \(\displaystyle{ n_0\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n_0}}<\delta}\). Pokażemy, że to \(\displaystyle{ n_0}\) jest dobre.

Ustalmy \(\displaystyle{ n\geq n_0}\). Wówczas \(\displaystyle{ x_0}\) należy do dokładnie jednego z przedziałów \(\displaystyle{ (a_{i-1},a_i]}\) oraz \(\displaystyle{ g_n(x_0)=\inf\{f(x):x\in [a_{i-1},a_i]\} }\).

Ustalmy \(\displaystyle{ x\in[a_{i-1},a_i]}\). Wówczas \(\displaystyle{ |x-x_0|\leq |a_i-a_{i-1}|=\frac{1}{2^n}\leq \frac{1}{2^{n_0}}<\delta}\). Zatem \(\displaystyle{ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon}\), co można zapisać inaczej \(\displaystyle{ f(x)\in(f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\varepsilon)}\).

Z własności infimum \(\displaystyle{ \inf\{f(x):x\in [a_{i-1},a_i]\}\in [f(x_0)-\varepsilon,f(x_0)+\varepsilon)}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ |g_n(x_0)-f(x_0)|\leq \varepsilon}\).

Uwaga. Fakt, że dzielimy akurat na \(\displaystyle{ 2^n}\) przedziałów jest można powiedzieć nieistotny. Równie dobrze można dzielić na \(\displaystyle{ a_n}\) przedziałów, gdzie \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest dowolnym ciągiem liczb naturalnych o granicy \(\displaystyle{ +\infty}\).

[Maciek6997]

Dziękuje bardzo za jasną i wyczerpująco odpowiedź.