Dlaczego tak naprawdę funkcje trygonometryczne są okresowe

[Janusz Tracz]

Często funkcje trygonometryczne definiuje się równoważnie w stosunku do standardowych szkolnych definicji w układzie czy na jednostkowym okręgu. Wiele z takich definicji podaje Wikipedia przytoczę dwie z nich:

\(\displaystyle{ \mathbf{1)}}\) Definicja za pomocą równań funkcyjnych:

Istnieje tylko jedna para funkcji \(\displaystyle{ (s,c)}\) taka, że dla każdej pary \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\) spełniają się układ warunków:

\(\displaystyle{ \begin{cases} s^2(x)+c^2(x)=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ s(x+y)= s(x)c(y)+c(x)s(y) \ \ (2)\\ c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)c(y) \ \ (3) \\ 0<xc(x)<s(x)<x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\end{cases} }\)

Przy czym \(\displaystyle{ (4)}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0,1\right) }\). Oczywiści \(\displaystyle{ s,c}\) na końcu umawiamy się \(\displaystyle{ s}\) oznaczać \(\displaystyle{ \sin}\) i nazywać sinusem analogicznie z \(\displaystyle{ c}\). Więc co udało mi się udowodnić na gruncie definicji \(\displaystyle{ \mathbf{1}}\).

ograniczoność:    

wynika natychmiast z \(\displaystyle{ (1)}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) mamy \(\displaystyle{ s(x),c(x)\in \left[ -1,1\right] }\)

wartości w zerze:    

Z \(\displaystyle{ (3)}\) wynika, że \(\displaystyle{ c(0)=c^2(0)-s^2(0)}\) kładąc \(\displaystyle{ (1)}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ 2c^2(0)-c(0)-1=0}\) zatem \(\displaystyle{ c(0)=- \frac{1}{2} }\) lub \(\displaystyle{ c(0)=1}\) gdyby \(\displaystyle{ c(0)=- \frac{1}{2} }\) to z \(\displaystyle{ (2)}\) wynikało by, że \(\displaystyle{ s(0)=0}\) co jest niemożliwe ze względy na \(\displaystyle{ (1)}\) zatem \(\displaystyle{ c(0)=1}\) a stąd od razu mamy, że \(\displaystyle{ s(0)=0}\).

parzystość i nieparzystość:    

Kładąc w \(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ y=-x}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ s(x)c(-x)=-s(-x)c(x)}\) zatem funkcja \(\displaystyle{ \text{SC}(x):=s(x)c(-x)}\) składająca się z iloczyny dwóch funkcji jest nieparzysta. Zatem jedna z funkcji \(\displaystyle{ s}\) lub \(\displaystyle{ c}\) jest nieparzysta a druga parzysta lub odwrotnie. Kładąc w \(\displaystyle{ (3)}\) \(\displaystyle{ y=-x}\) i porównując z \(\displaystyle{ (1)}\) widzimy, że \(\displaystyle{ s^2(x)+c^2(x)= c(x)c(-x)-s(x)s(-x)}\) zatem albo funkcje te są stale równe zero (a nie są) albo to \(\displaystyle{ s}\) jest nieparzysty a \(\displaystyle{ c}\) parzysty.

dużo pseudo trygonometrycznych wzorów:    

Mają parzystość i nieparzystość można zamienić w \(\displaystyle{ (2),(3)}\) \(\displaystyle{ y}\) na \(\displaystyle{ -y}\) tym samym dowodząc wzory na s-sinus różnicy oraz c-cosinus różnicy. Sumując stronami odpowiednie z nich można udowodnić wzory na sumę i różnicę s-sinusa oraz c-cosinusa.

ciągłość:    

A nawet Lipschitzowskość \(\displaystyle{ s}\). Mamy bowiem dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\)

\(\displaystyle{ \left| s(x)-s(y)\right| = \left| 2s\left( \frac{x-y}{2} \right) c\left( \frac{x+y}{2} \right) \right| \le \left| 2s\left( \frac{x-y}{2} \right) \right| \le \left| x-y \right| }\)

przy czym ostatnia nierówność wymaga komentarza. Po pierwsze bez starty ogólności \(\displaystyle{ \frac{x-y}{2} \ge 0}\) jeśli ponad to \(\displaystyle{ \frac{x-y}{2} < 1}\) to z własności \(\displaystyle{ (4)}\) koniec, jeśli jednak \(\displaystyle{ \frac{x-y}{2} \ge 1}\) to tym lepiej bo \(\displaystyle{ s \le 1}\) więc tym bardziej \(\displaystyle{ 2s \le \left| x-y\right| }\)

ważną granicę:    

Z \(\displaystyle{ (4)}\), ciągłości oraz parzystości i nieparzystości (i tw. o trzech funkcjach) mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{s(h)}{h}=1 }\)

różniczkowalność:    

Standardowo z definicji można już policzyć:
\(\displaystyle{ s'(x)= \lim_{h \to 0 } \frac{s(x+h)-s(x)}{h}=...=c(x) }\)

\(\displaystyle{ c'(x)= \lim_{h \to 0 } \frac{c(x+h)-c(x)}{h}=...=-s(x) }\)

rozwinięcie w szereg Taylora:    

Z różniczkowalności wynika, że \(\displaystyle{ s''=-s}\) i \(\displaystyle{ s(0)=0,s'(0)=1}\) to pozwala rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ s}\) w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ 0}\). Trzeba się jednak powołać na dość mocne twierdzenie którego udowodnić nie umiem. Twierdzenie mówi, że rozwiązania jednorodnego równania liniowego są analityczne. Dla \(\displaystyle{ c}\) postępujemy podobnie.

Ostatni podpunkt prowadzi do pokazania, że funkcję trygonometryczne można zdefiniować za pomocą rozwinięcia w szereg:
\(\displaystyle{ \mathbf{2)}}\) Definicja za pomocą rozwinięcia w szereg:

\(\displaystyle{ \sin x= \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }\)

\(\displaystyle{ \cos x= \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} }\)

Zatem udało się pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbf{(1)} \Rightarrow \mathbf{(2)}}\). Niekoniecznie w drugą stronę (co też jest warte uwagi) ale bardziej zależny mi na:

\(\displaystyle{ \bullet}\) wykazaniu okresowości na gruncie \(\displaystyle{ \mathbf{(1)}}\) bez odwoływania się do \(\displaystyle{ \mathbf{(2)}}\) (czyli korzystania z ostatniego faktu).

\(\displaystyle{ \bullet}\) pokazaniu okresowości na gruncie \(\displaystyle{ \mathbf{(2)}}\). Skąd wiadomo, że takie szeregi są okresowe?

\(\displaystyle{ \bullet}\) jak za pomocą tych definicji (rozważajmy je osobno do póki się da) policzyć przykładowo \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) }\) itp.? Na przykład jak policzyć:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n \frac{ \pi ^{2n+1}}{(2n+1)!}}\) na gruncie \(\displaystyle{ \mathbf{(2)}}\)

\(\displaystyle{ s( \pi )}\) na gruncie \(\displaystyle{ \mathbf{(1)}}\)

PS Bardzo chciałbym uniknąć wskoczenia do \(\displaystyle{ \CC}\) zdefiniowania tam \(\displaystyle{ \exp:\CC\to\CC}\) za pomocą szeregu i pokazaniu, że \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos }\) które mamy w \(\displaystyle{ \mathbf{(2)}}\) to tak naprawdę \(\displaystyle{ \mathfrak{Im}\left\{ \exp\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \mathfrak{Re}\left\{ \exp\right\}}\). Chciałbym jak najdłużej trzymać się \(\displaystyle{ \RR}\) tak aby pozostać w zgodzie z definicjami z Wiki które mówią wyłącznie o \(\displaystyle{ \RR}\).

[matmatmm]

Musisz zdefiniować liczbę \(\displaystyle{ \pi}\) jako dwukrotność najmniejszego dodatniego miejsca zerowego cosinusa. Ewentualnie jeśli \(\displaystyle{ \pi}\) jest zdefiniowane inaczej, to musisz pokazać równoważność tych definicji.