Rozwinąć e^x w szereg Fouriera

[lola456]

Witam, mam problem z rozwinięciem funkcji \(\displaystyle{ f(x) = e^x}\) w szereg Fouriera na przedziale \(\displaystyle{ [- \pi , \pi ].}\)
Sprawdzam warunki Dirichelta i \(\displaystyle{ f(- \pi ) = f( \pi ) = \frac{ \lim_{ x\to-\pi ^{+} }f(x) + \lim_{x \to \pi ^{-} } f(x)}{2} }\)
ten warunek nie jest spełniony. Czy to oznacza że nie da się tej funkcji rozwinąć, czy należy jakoś inaczej do tego podejść?

[Premislav]

A skąd wzięłaś taki warunek? Nie pomyliło Ci się coś?

[Janusz Tracz]

ten warunek nie jest spełniony. Czy to oznacza że nie da się tej funkcji rozwinąć, czy należy jakoś inaczej do tego podejść?

I tak i nie. Jeśli przez \(\displaystyle{ f}\) rozumiemy standardowe \(\displaystyle{ e^x}\) to warunek nie jest spełniony. Ale wydaje mi się, że tu milcząco zakładamy, że ten warunek jest spełniony poprzez lekkie zmodyfikowanie funkcji jaką rozwijamy. By warunek był spełniony wartości na końcach ustalamy na sztywno (w taki sposób, żeby było dobrze) i rozwijamy tak na prawdę:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{e^ \pi +e^{- \pi }}{2} \text{ dla } x=- \pi \\ e^x \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( - \pi , \pi \right) \\ \frac{e^ \pi +e^{- \pi }}{2} \text{ dla } x= \pi \end{cases} }\)

tym sposobem spełniasz wymagania co do warunków przy jednoczesnym rozwinięciu \(\displaystyle{ e^x}\) w szereg Fouriera na \(\displaystyle{ (- \pi , \pi )}\).

PS Premislav

Kod: Zaznacz cały

http://prac.im.pwr.wroc.pl/~wkosz/transFiL.pdf

2 strona Twierdzenie Dirichleta.

[Premislav]

A te punkty są punktami nieciągłości funkcji?

[lola456]

ten warunek nie jest spełniony. Czy to oznacza że nie da się tej funkcji rozwinąć, czy należy jakoś inaczej do tego podejść?

I tak i nie. Jeśli przez \(\displaystyle{ f}\) rozumiemy standardowe \(\displaystyle{ e^x}\) to warunek nie jest spełniony. Ale wydaje mi się, że tu milcząco zakładamy, że ten warunek jest spełniony poprzez lekkie zmodyfikowanie funkcji jaką rozwijamy. By warunek był spełniony wartości na końcach ustalamy na sztywno (w taki sposób, żeby było dobrze) i rozwijamy tak na prawdę:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{e^ \pi +e^{- \pi }}{2} \text{ dla } x=- \pi \\ e^x \ \ \ \ \ \ \ \text{ dla } x\in \left( - \pi , \pi \right) \\ \frac{e^ \pi +e^{- \pi }}{2} \text{ dla } x= \pi \end{cases} }\)

tym sposobem spełniasz wymagania co do warunków przy jednoczesnym rozwinięciu \(\displaystyle{ e^x}\) w szereg Fouriera na \(\displaystyle{ (- \pi , \pi )}\).

PS Premislav

Kod: Zaznacz cały

http://prac.im.pwr.wroc.pl/~wkosz/transFiL.pdf

2 strona Twierdzenie Dirichleta.

Dziękuję, mam jeszcze jedno pytanie, czy to jest taki uniwersalny sposób na rozwiązywanie podobnych problemów?

Dodano po 58 sekundach:

A te punkty są punktami nieciągłości funkcji?

Chodzi o warunek o wartościach na końcu przedziału, które muszą być równe

[Premislav]

A rzeczywiście, przepraszam za zamieszanie, ślepy jestem.

[Janusz Tracz]

Premislav wydaje mi się, że warunek \(\displaystyle{ 3}\) w cytowanym twierdzeniu jest niezależny od odpowiedzi na Twoje pytanie. Warunek \(\displaystyle{ 3}\) dotyczmy krańców przedziału a nie punktów nieciągłości wewnątrz. Ale można warunek \(\displaystyle{ 3}\) zrozumieć intuicyjnie jako pewną modyfikację warunku \(\displaystyle{ 2}\) (który mówi aby w pukach nieciągłości wstawiać średnią arytmetyczną krańców). Zauważmy, że rozwinięcie w szereg jest okresowe zatem jeśli pomiędzy krańcami przedziału następuje skok to nie różni się to od tradycyjnej nieciągłości wewnątrz przedziału (wszak za chwilę zaraz zacznie się od nowa takie samo rozwinięcie tylko przesunięte). Stąd warunek \(\displaystyle{ 2}\) po takiej modyfikacji daje \(\displaystyle{ 3}\). Jeśli o samą ciągłość chodzi to w tym przypadku ciągłości nie ma ale gdyby wartości na końcach przedziału rozwijanej funkcji były by równe to ciągłość by była.

czy to jest taki uniwersalny sposób na rozwiązywanie podobnych problemów?

Nie nazwał bym tego sposobem na rozwiązanie. To raczej naprawa funkcji tak aby dało się ją rozwinąć. Uważam, że treść zadania jest trochę niechlujna bo powinno być jasno napisane jaką funkcję rozwijamy. Tak więc odpowiedź jest zależna od Twoich potrzeb bo jeśli chcesz rozwinąć funkcję i chcesz by rozwinięcie było zbieżne do funkcji to wtedy warto zadbać o te warunki.

PS Opisane (w linku) warunki są wystarczające więc jeśli są spełnione to wtedy wolno przyrównać \(\displaystyle{ f}\) i rozwinięcie i będzie to prawda na całym przedziale z krańcami. Niemniej jednak nie wiem czy są to warunki konieczne.

[lola456]

Rozumiem, dziękuję bardzo za pomoc.