Określ obszar zbieżności następującego szeregu

[lola456]

Witam,
Muszę określić obszar zbieżności szeregu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ \sum_{ n = 1 }^{\infty} \frac{x^n}{1 + x^{2n}}}\)
Prosiłabym o pomoc, ponieważ nie wiem jak podejść do takiego zadania, ponieważ mam\(\displaystyle{ x}\) w różnych potęgach i nie wiem jak skorzystać z tw. Cauchy'ego-Hadamarda

[Premislav]

Nijak, ponieważ to twierdzenie aplikuje się do szeregów potęgowych, a widoczny tu szereg takim nie jest. Ale można postąpić dosyć podobnie: obłóż wyrazy modułem i do uzyskanego w ten sposób szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|x|^{n}}{1+x^{2n}}}\) zastosuj kryterium Cauchy'ego jak do zwykłego szeregu liczbowego.
Tam, gdzie kryterium Cauchy'ego nie rozstrzygnie (tutaj będzie to dla \(\displaystyle{ |x|=1}\)), trzeba badać oddzielnie, ale wtedy to nawet warunek konieczny zbieżności nie będzie spełniony. Można też to rozwiązać sprytniej, ale ewentualna sztuczka zadziałałaby akurat tu, a w innych sytuacjach nie, więc polecam przećwiczenie czegoś takiego.

Dodano po 49 sekundach:
Gdybyś miała problem z granicami, jakie tam się pojawią, to pisz, ale polecam najpierw trochę się nad nimi zastanowić.

[Janusz Tracz]

Zauważ, że można oszacować \(\displaystyle{ \left| \frac{x^n}{1 + x^{2n}}\right| \le \left| x^n\right| }\) zatem zbieżność dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) masz gwarantowaną ze względu na zbieżność szeregu geometrycznego. Dla \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ x=-1}\) warunek konieczny nie jest spełniony. A dla \(\displaystyle{ |x|>1}\) można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left| \frac{x^n}{1 + x^{2n}}\right|}{ \left| \frac{1}{x^n}\right| } =1 }\)

[Premislav]

No tak, to właśnie jest ta sztuczka, a dla \(\displaystyle{ |x|>1}\), jak już w sztuczki idziemy, można podstawić \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\) i mamy \(\displaystyle{ |t|<1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x^{n}}{1+x^{2n}}=\frac{t^{-n}}{1+t^{-2n}}=\frac{t^{n}}{1+t^{2n}}}\)
czyli sprowadziliśmy ten przypadek do już rozważonego.

[lola456]

Dziękuję bardzo, zadanie udało mi się rozwiązać oboma sposobami.