Pokaż, że szereg jest bezwzględnie zbieżny

[Raven44]

Pokaż, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ z^{n} }{1-z^n}}\) jest bezwzględnie zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |z|<1}\), a rozbieżny, gdy \(\displaystyle{ |z|>1}\).

[Premislav]

Bezwzględna zbieżność: niech \(\displaystyle{ |z|<1}\). Mamy
\(\displaystyle{ \left|\frac{z^{n}}{1-z^{n}}\right|=\frac{|z|^{n}}{|1-z^{n}|}\le \frac{|z|^{n}}{1-|z|^{n}}\le \frac{|z|^{n}}{1-|z|}}\)
a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|z|^{n}}{1-|z|}}\) jest zbieżnym szeregiem geometrycznym (wszak wartość bezwzględna jego ilorazu jest ostro mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\)).
Rozbieżność dla \(\displaystyle{ |z|>1:}\)
jeśli \(\displaystyle{ |z|>1}\), to
\(\displaystyle{ \left|\frac{z^{n}}{1-z^{n}}\right|=\frac{|z|^{n}}{\left|z^{n}-1\right|}\ge \frac{|z|^{n}}{|z|^{n}+1}>\frac{1}{2}}\)
a zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.

Uwaga: w przejściach \(\displaystyle{ \frac{|z|^{n}}{\left|1-z^{n}\right|}\ge \frac{|z|^{n}}{1-\left|z\right|^{n}}, \ \frac{|z|^{n}}{\left|z^{n}-1\right|}\ge \frac{|z|^{n}}{\left|z^{n}\right|+1}}\)
korzystałem po prostu z nierówności trójkąta.