Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
costamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 17

Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Post autor: costamm »

witam, mam problem z przeprowadzeniem następującego dowodu:
Korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora udowodnić, że dla transformacji przesunięcia danej wzorem \(\displaystyle{ T\psi(x)=\psi(x+h)}\) jest spełniona równość \(\displaystyle{ T\psi(x)=(e)^{hD}\psi(x)}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Post autor: Dasio11 »

Zacznij od rozpisania, czym jest \(\displaystyle{ e^{hD}}\), a później \(\displaystyle{ \left( e^{hD} \psi\right) (x)}\)
costamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 17

Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Post autor: costamm »

czyli mam rozwinąć \(\displaystyle{ e^{hd} }\) w szereg Taylora? bo nie za bardzo rozumiem
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Post autor: Dasio11 »

Jaka jest definicja \( e^{hD} \)?
costamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 kwie 2020, o 19:33
Płeć: Kobieta
wiek: 17

Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Post autor: costamm »

Niestety w skrypcie dostaliśmy tylko te 2 równania. Podejrzewam że D to jest pochodna ale to niestety wszystko.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora

Post autor: Dasio11 »

Trudno mi uwierzyć, że dostaliście takie zadanie, jeśli na wykładzie/w skrypcie nie podali Wam nawet definicji niezbędnych do jego odczytania (o rozwiązaniu nie wspominając).

Ale jeśli tak rzeczywiście było, to proszę: dla operatora \(\displaystyle{ T}\) jego eksponens definiuje się przez szereg Taylora, taki jak dla zwykłej funkcji \(\displaystyle{ e^x}\) w analizie:

\(\displaystyle{ e^T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{n!}}\)

gdzie \(\displaystyle{ T^n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-krotne złożenie, czyli \(\displaystyle{ \underbrace{T \circ \ldots \circ T}_{n \text{ razy}}}\). Operator \(\displaystyle{ D}\) zaiste oznacza różniczkowanie.
ODPOWIEDZ