witam, mam problem z przeprowadzeniem następującego dowodu:
Korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora udowodnić, że dla transformacji przesunięcia danej wzorem \(\displaystyle{ T\psi(x)=\psi(x+h)}\) jest spełniona równość \(\displaystyle{ T\psi(x)=(e)^{hD}\psi(x)}\).
Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora
Zacznij od rozpisania, czym jest \(\displaystyle{ e^{hD}}\), a później \(\displaystyle{ \left( e^{hD} \psi\right) (x)}\)
Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora
czyli mam rozwinąć \(\displaystyle{ e^{hd} }\) w szereg Taylora? bo nie za bardzo rozumiem
Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora
Niestety w skrypcie dostaliśmy tylko te 2 równania. Podejrzewam że D to jest pochodna ale to niestety wszystko.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Transformacja przesunięcia przy pomocy szeregu Taylora
Trudno mi uwierzyć, że dostaliście takie zadanie, jeśli na wykładzie/w skrypcie nie podali Wam nawet definicji niezbędnych do jego odczytania (o rozwiązaniu nie wspominając).
Ale jeśli tak rzeczywiście było, to proszę: dla operatora \(\displaystyle{ T}\) jego eksponens definiuje się przez szereg Taylora, taki jak dla zwykłej funkcji \(\displaystyle{ e^x}\) w analizie:
\(\displaystyle{ e^T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{n!}}\)
gdzie \(\displaystyle{ T^n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-krotne złożenie, czyli \(\displaystyle{ \underbrace{T \circ \ldots \circ T}_{n \text{ razy}}}\). Operator \(\displaystyle{ D}\) zaiste oznacza różniczkowanie.
Ale jeśli tak rzeczywiście było, to proszę: dla operatora \(\displaystyle{ T}\) jego eksponens definiuje się przez szereg Taylora, taki jak dla zwykłej funkcji \(\displaystyle{ e^x}\) w analizie:
\(\displaystyle{ e^T = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{n!}}\)
gdzie \(\displaystyle{ T^n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-krotne złożenie, czyli \(\displaystyle{ \underbrace{T \circ \ldots \circ T}_{n \text{ razy}}}\). Operator \(\displaystyle{ D}\) zaiste oznacza różniczkowanie.