Rozwinąć funkcje w szereg Taylora
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 13 paź 2019, o 10:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Rozwinąć funkcje w szereg Taylora
\(\displaystyle{ f(x)= \cos^2 x}\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 13 paź 2019, o 10:39
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora
Nie umiem napisać sumy, może źle liczę wartości pochodnych w poszczególnych punktach.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora
Szczerze mówiąc, ja bym tu nie angażował bezpośredniego rachunku pochodnych, bo dużo trzeba liczyć, tylko bardziej skłaniałbym się w kierunku skorzystania z tożsamości trygonometrycznych i z rozwinięć znanych funkcji,
Mamy \(\displaystyle{ \cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1+\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{2}{3}\pi\right)}{2}\\=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2}{3}\pi\right)\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)-\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2}{3}\pi\right)\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)}\)
i teraz skorzystaj z rozwinięcia kosinusa i sinusa.
Dodano po 4 minutach 17 sekundach:
Chociaż w sumie jednak nie tak trudno, tu można też bezpośrednio liczyć pochodne, tylko ze po rozpisaniu paru przypadków trzeba udowodnić zwarty wzór indukcyjnie, co jest troszkę upierdliwe. Ale i ta droga nie jest trudna ani mocno rachunkowa…
Mamy \(\displaystyle{ \cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1+\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{2}{3}\pi\right)}{2}\\=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2}{3}\pi\right)\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)-\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2}{3}\pi\right)\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)}\)
i teraz skorzystaj z rozwinięcia kosinusa i sinusa.
Dodano po 4 minutach 17 sekundach:
Chociaż w sumie jednak nie tak trudno, tu można też bezpośrednio liczyć pochodne, tylko ze po rozpisaniu paru przypadków trzeba udowodnić zwarty wzór indukcyjnie, co jest troszkę upierdliwe. Ale i ta droga nie jest trudna ani mocno rachunkowa…
- niunix98
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 17 razy
Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora
Popatrz sobie na pochodne kolejnych rzędów \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\): \(\displaystyle{ \cos^{2}x, (\cos^{2}x)' = - \sin x \cdot 2 \cos x = -\sin 2x , -2 \cos 2x , 4 \sin 2x , 8 \cos 2x ...}\). Widzimy już, że dla \(\displaystyle{ k>1}\) mamy
\(\displaystyle{ (\cos^{2}x)^{(k)} = \begin{cases} -2^{k-1} \sin 2x \text{ gdy } k=4n+1 \\
-2^{k-1} \cos 2x \text{ gdy } k=4n+2 \\
2^{k-1} \sin 2x \text{ gdy } k=4n+3 \\
2^{k-1} \cos 2x \text{ gdy } k=4n
\end{cases} }\)
Teraz obliczamy wartości \(\displaystyle{ \cos^2 x , \sin 2x , \cos 2x}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) i mamy: \(\displaystyle{ \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{1}{4} , \sin \frac{2 \pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{2}}\). Czyli
\(\displaystyle{ (\cos^{2}\frac{\sqrt{3}}{2})^{(k)} = \begin{cases} -2^{k-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ gdy } k=4n+1 \\
-2^{k-1} \cdot -\frac{1}{2} \text{ gdy } k=4n+2 \\
2^{k-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ gdy } k=4n+3 \\
2^{k-1} \cdot -\frac{1}{2} \text{ gdy } k=4n
\end{cases} }\)
Teraz łatwo możemy napisać \(\displaystyle{ n-ty}\) wielomian Taylora:
\(\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(\cos^{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}))^{(k)}}{k!} (x- \frac{\pi}{3} )^{k} }\)
Mogę przykładowo wypisać parę wyrazów:
\(\displaystyle{ W_n (x) = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x-\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3})^2 +\frac{\sqrt{3}}{3} (x-\frac{\pi}{3})^3 - \frac{1}{6}(x-\frac{\pi}{3})^4 +...}\)
\(\displaystyle{ (\cos^{2}x)^{(k)} = \begin{cases} -2^{k-1} \sin 2x \text{ gdy } k=4n+1 \\
-2^{k-1} \cos 2x \text{ gdy } k=4n+2 \\
2^{k-1} \sin 2x \text{ gdy } k=4n+3 \\
2^{k-1} \cos 2x \text{ gdy } k=4n
\end{cases} }\)
Teraz obliczamy wartości \(\displaystyle{ \cos^2 x , \sin 2x , \cos 2x}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) i mamy: \(\displaystyle{ \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{1}{4} , \sin \frac{2 \pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{2}}\). Czyli
\(\displaystyle{ (\cos^{2}\frac{\sqrt{3}}{2})^{(k)} = \begin{cases} -2^{k-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ gdy } k=4n+1 \\
-2^{k-1} \cdot -\frac{1}{2} \text{ gdy } k=4n+2 \\
2^{k-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ gdy } k=4n+3 \\
2^{k-1} \cdot -\frac{1}{2} \text{ gdy } k=4n
\end{cases} }\)
Teraz łatwo możemy napisać \(\displaystyle{ n-ty}\) wielomian Taylora:
\(\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(\cos^{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}))^{(k)}}{k!} (x- \frac{\pi}{3} )^{k} }\)
Mogę przykładowo wypisać parę wyrazów:
\(\displaystyle{ W_n (x) = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x-\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3})^2 +\frac{\sqrt{3}}{3} (x-\frac{\pi}{3})^3 - \frac{1}{6}(x-\frac{\pi}{3})^4 +...}\)