Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
ullortnaci
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 13 paź 2019, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Post autor: ullortnaci »

\(\displaystyle{ f(x)= \cos^2 x}\) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Post autor: a4karo »

W czym problem?
ullortnaci
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 13 paź 2019, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Post autor: ullortnaci »

a4karo pisze: 5 kwie 2020, o 20:03 W czym problem?
Nie umiem napisać sumy, może źle liczę wartości pochodnych w poszczególnych punktach.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Post autor: a4karo »

Pokaż jak liczysz
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Post autor: Premislav »

Szczerze mówiąc, ja bym tu nie angażował bezpośredniego rachunku pochodnych, bo dużo trzeba liczyć, tylko bardziej skłaniałbym się w kierunku skorzystania z tożsamości trygonometrycznych i z rozwinięć znanych funkcji,
Mamy \(\displaystyle{ \cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1+\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{2}{3}\pi\right)}{2}\\=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(\frac{2}{3}\pi\right)\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)-\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2}{3}\pi\right)\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)}\)
i teraz skorzystaj z rozwinięcia kosinusa i sinusa.

Dodano po 4 minutach 17 sekundach:
Chociaż w sumie jednak nie tak trudno, tu można też bezpośrednio liczyć pochodne, tylko ze po rozpisaniu paru przypadków trzeba udowodnić zwarty wzór indukcyjnie, co jest troszkę upierdliwe. Ale i ta droga nie jest trudna ani mocno rachunkowa…
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: Rozwinąć funkcje w szereg Taylora

Post autor: niunix98 »

Popatrz sobie na pochodne kolejnych rzędów \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\): \(\displaystyle{ \cos^{2}x, (\cos^{2}x)' = - \sin x \cdot 2 \cos x = -\sin 2x , -2 \cos 2x , 4 \sin 2x , 8 \cos 2x ...}\). Widzimy już, że dla \(\displaystyle{ k>1}\) mamy

\(\displaystyle{ (\cos^{2}x)^{(k)} = \begin{cases} -2^{k-1} \sin 2x \text{ gdy } k=4n+1 \\
-2^{k-1} \cos 2x \text{ gdy } k=4n+2 \\
2^{k-1} \sin 2x \text{ gdy } k=4n+3 \\
2^{k-1} \cos 2x \text{ gdy } k=4n
\end{cases} }\)


Teraz obliczamy wartości \(\displaystyle{ \cos^2 x , \sin 2x , \cos 2x}\) w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) i mamy: \(\displaystyle{ \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{1}{4} , \sin \frac{2 \pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{2}}\). Czyli

\(\displaystyle{ (\cos^{2}\frac{\sqrt{3}}{2})^{(k)} = \begin{cases} -2^{k-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ gdy } k=4n+1 \\
-2^{k-1} \cdot -\frac{1}{2} \text{ gdy } k=4n+2 \\
2^{k-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ gdy } k=4n+3 \\
2^{k-1} \cdot -\frac{1}{2} \text{ gdy } k=4n
\end{cases} }\)


Teraz łatwo możemy napisać \(\displaystyle{ n-ty}\) wielomian Taylora:
\(\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(\cos^{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}))^{(k)}}{k!} (x- \frac{\pi}{3} )^{k} }\)

Mogę przykładowo wypisać parę wyrazów:

\(\displaystyle{ W_n (x) = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} (x-\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3})^2 +\frac{\sqrt{3}}{3} (x-\frac{\pi}{3})^3 - \frac{1}{6}(x-\frac{\pi}{3})^4 +...}\)
ODPOWIEDZ