Rozwin w szereg Fouriera względem cosinusów

[inc00gnito]

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 &\text{dla } 0 \le x< 1\\ \frac{3}{2} &\text{dla } x = 1\\ 1 &\text{dla } 1< x \le 2\\ \end{cases}}\)
Buduje funkcje \(\displaystyle{ g(x) }\) taka ze \(\displaystyle{ f(x) = g(x)}\) i \(\displaystyle{ g(-x) = g(x) }\) dla \(\displaystyle{ -2 \le x \le 2}\) z czego wynika ze \(\displaystyle{ b_{n} = 0 }\)

\(\displaystyle{ a_{0} = \frac{2}{2} \int_{0}^{2}g(x) = \int_{0}^{2} f(x) = \int_{0}^{1} 1 + \int_{1}^{1} \frac{3}{2} + \int_{1}^{2} 2 = 3 }\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} f(x)\cos( \frac{n \pi x}{2} ) = \frac{2}{n\pi} \cdot (-1) ^{n+1} }\)

Szereg Fouriera wzgledem cosinusow dla tej funkcji wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1) ^{n+1} }{n} \cos( \frac{n \pi x}{2}) }\)

Czy mój tok rozumowania jest dobry, oraz czy to zadanie zostało wykonanie poprawnie?
Jeśli chce teraz tę funkcje przedstawić za pomocą szeregu fouriera względem sinusów, czy wystarczy ze zbuduje funkcje \(\displaystyle{ -g(x) = g(-x) }\)?