Witam, mam do zbadania zbieżność jednostajną szeregu na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), dochodzę do pewnego momentu i dalej nie wiem co zrobić. Mój szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n = 1} \frac{x^n(1 - x)}{n} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } = 0}\)
\(\displaystyle{ f_n(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f_n(1) = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } dc(f_n, f) = 0}\)
i teraz zapisując sumy częściowe nie wiem jak zbadać czy istnieje funkcja graniczna i jaką ona ma postać (o ile wgl ma)
\(\displaystyle{ a_1 = x - x^2}\)
\(\displaystyle{ a_2 = \frac{x^2 - x^3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_3 = \frac{x^4 - x^3}{3} }\)
Proszę o pomoc.
Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy dla \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\):
\(\displaystyle{ x^{n}(1-x)=n^{n}\left(\frac{1}{n}x\right)^{n}(1-x)\le n^{n}\cdot\left(\frac{\overbrace{\frac{x}{n}+\ldots+\frac{x}{n}}^{n}+1-x}{n+1} \right)^{n+1}=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}\)
Wobec tego (moduł można pominąć, bo wyrazy szeregu i tak są nieujemne)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}(1-x)}{n}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\\\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2}}\)
Na mocy kryterium Weierstrassa szereg jest jednostajnie zbieżny.
\(\displaystyle{ x^{n}(1-x)=n^{n}\left(\frac{1}{n}x\right)^{n}(1-x)\le n^{n}\cdot\left(\frac{\overbrace{\frac{x}{n}+\ldots+\frac{x}{n}}^{n}+1-x}{n+1} \right)^{n+1}=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}\)
Wobec tego (moduł można pominąć, bo wyrazy szeregu i tak są nieujemne)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}(1-x)}{n}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\\\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2}}\)
Na mocy kryterium Weierstrassa szereg jest jednostajnie zbieżny.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu
Ja policzyłem pochodną \(\displaystyle{ x^n(1-x)}\) i wyznaczyłem maksimum na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\). Czyli:
\(\displaystyle{ \left( x^n(1-x)\right)' = nx^{n-1}(1-x)-x^n=x^{n-1}(n-nx-x)}\)
Wyrażanie to zeruje się w \(\displaystyle{ x= \frac{n}{n+1} }\) (oczywiście to jest warunek koniczny) zeruj się też w \(\displaystyle{ x=0}\) ale maksimum globalna na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) funkcja \(\displaystyle{ x^n(1-x)}\) osiąga w \(\displaystyle{ x= \frac{n}{n+1} }\) czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}(1-x)}{n}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1} }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}\)
Więc wyszło to samo co Przemkowi. Więc trochę inaczej pokarzę zbieżność tego szeregu mianowicie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}{ \frac{1}{n^2} } = \frac{1}{e} }\)
zatem na mocy kryterium ilorazowego szereg jest zbieżny bo \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^2} }\) jest zbieżny (znany fakt). Zatem Na mocy kryterium Weierstrassa szereg jest jednostajnie zbieżny.
\(\displaystyle{ \left( x^n(1-x)\right)' = nx^{n-1}(1-x)-x^n=x^{n-1}(n-nx-x)}\)
Wyrażanie to zeruje się w \(\displaystyle{ x= \frac{n}{n+1} }\) (oczywiście to jest warunek koniczny) zeruj się też w \(\displaystyle{ x=0}\) ale maksimum globalna na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) funkcja \(\displaystyle{ x^n(1-x)}\) osiąga w \(\displaystyle{ x= \frac{n}{n+1} }\) czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}(1-x)}{n}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1} }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}\)
Więc wyszło to samo co Przemkowi. Więc trochę inaczej pokarzę zbieżność tego szeregu mianowicie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}}{ \frac{1}{n^2} } = \frac{1}{e} }\)
zatem na mocy kryterium ilorazowego szereg jest zbieżny bo \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n^2} }\) jest zbieżny (znany fakt). Zatem Na mocy kryterium Weierstrassa szereg jest jednostajnie zbieżny.
