Zbieżność szeregu na krańcach przedziału

[Jan Kraszewski]

Wtedy
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4(n+1)(n+3)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{(n+1)(n+3)}{(n+1/2)\red{(2n+1)}}>1$$
co oznacza, że szereg nie spełnia warunku koniecznego i załatwia negatywnie szereg naprzemienny również.

Mógłbyś wytłumaczyć to przekształcenie?

JK

[Xardas962]

To może tak: Niech `a_n=\frac{n!(n+2)!4^n}{(2n)!}`
Wtedy
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4(n+1)(n+3)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{(n+1)(n+3)}{(n+1/2)(2n+1)}>1$$
co oznacza, że szereg nie spełnia warunku koniecznego i załatwia negatywnie szereg naprzemienny również.

To zadanie praktycznie zacząłem od d'Alemberta. Wychodziło mi 1, czyli nie można stwierdzić zbieżności lub rozbieżności.
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+3)4}{(2n+1)(2n+2)}= \frac{(n+1)(n+3)4}{(2n+1)2(n+1)}= \frac{4(n+3)}{2(2n+1)}= \frac{4n(1+ \frac{3}{n} )}{2n(2+ \frac{1}{n} )}= \frac{4}{4} =1}\)
Gdzieś zrobiłem błąd?

[a4karo]

Nigdzie, bo dvAlembert nie rozstrzyga. Ale z moich rachunków wynika, że ten ciąg jest rosnący, więc nie może dążyć do zera

[Jan Kraszewski]

Z tą drobną uwagą, że

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4(n+1)(n+3)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{(n+1)(n+3)}{(n+1/2)(n+1)}=\frac{n+3}{n+1/2}>1.$$

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+3)4}{(2n+1)(2n+2)}= \frac{(n+1)(n+3)4}{(2n+1)2(n+1)}= \frac{4(n+3)}{2(2n+1)}= \frac{4n(1+ \frac{3}{n} )}{2n(2+ \frac{1}{n} )}\red{=} \frac{4}{4} =1}\)Gdzieś zrobiłem błąd?

Przynajmniej błąd zapisu, bo tam na pewno nie ma równości...

Jak już, to \(\displaystyle{ \frac{4n(1+ \frac{3}{n} )}{2n(2+ \frac{1}{n} )}= \frac{4(1+ \frac{3}{n} )}{2(2+ \frac{1}{n} )}\xrightarrow{n\to\infty} \frac{4}{4} =1.}\)

JK

[Dasio11]

Ad 1. Dla zwykłych liczb to działa, myślałem że dla silni też.

Oczywiście dla silni działają wszystkie prawa mówiące o "zwykłych liczbach", ale na pewno jednym z takim praw nie jest wynikanie

\(\displaystyle{ x < y \implies \frac{1}{x} > y}\),

nawet jeśli przyjąć, że chodzi o liczby dodatnie.

[a4karo]

Wtedy
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4(n+1)(n+3)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{(n+1)(n+3)}{(n+1/2)\red{(2n+1)}}>1$$
co oznacza, że szereg nie spełnia warunku koniecznego i załatwia negatywnie szereg naprzemienny również.

Mógłbyś wytłumaczyć to przekształcenie?

JK

Cóż tu wyjaśniać. Widać, że na czerwono powinno być `n+1`