Zbadaj zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego

[lola456]

Witam, mam do zbadania zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{2n}{(x+n)^2} }\)

Funkcja graniczna wyszła mi \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), i teraz badam zbieżność jednostajną, zatem szukam supremum z \(\displaystyle{ | \frac{2n}{(x+n)^2} - 0| }\)
Wychodzi mi że funkcja ta nie ma supremum, czy to oznacza, że ciąg funkcyjny nie jest jednostajnie zbieżny?

[Premislav]

Istotnie, nie jest. Funkcję graniczną obliczyłaś poprawnie, no a przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in \RR}\left|\frac{2n}{(x+n)^{2}}-0\right|=\infty}\) (by się o tym przekonać, wystarczy wziąć ciąg argumentów różnych od \(\displaystyle{ -n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ -n}\)), więc nie ma mowy o zbieżności jednostajnej.

[lola456]

Istotnie, nie jest. Funkcję graniczną obliczyłaś poprawnie, no a przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in \RR}\left|\frac{2n}{(x+n)^{2}}-0\right|=\infty}\) (by się o tym przekonać, wystarczy wziąć ciąg argumentów różnych od \(\displaystyle{ -n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ -n}\)), więc nie ma mowy o zbieżności jednostajnej.

Dobrze, a teraz mam drugą część zadania:
\(\displaystyle{ f_n = \frac{x - n}{x + n} }\)
\(\displaystyle{ f'_n(x) = \frac{2n}{(x + n)^2}}\)
Oblicz i porównaj ze sobą\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f'_n(x) = (\lim_{n \to \infty } f_n(x))' }\)
Sformułuj odp. twierdzenie i wyciągnij wnioski.
Czy to nie jest tak, że ten warunek jest spełniony tylko wtedy gdy ciąg funkcyjny pochodnych jest jednostajnie zbieżny oraz ciąg funkcyjny jest punktowo zbieżny?
\(\displaystyle{ f_n --> -1}\)
natomiast co z pochodnymi w tym wypadku?

[Premislav]

Pochodna ze stałej to zero, proste. Szczerze to nie widzę, jak z tego można wyciągnąć sformułowanie twierdzenia. Tyle, co w tej materii pokazuje ten przykład, to że zbieżność jednostajna ciągu pochodnych nie jest warunkiem koniecznym, by granica punktowa pochodnej była równa pochodnej granicy punktowej. Ale może szaleju się opiłem.

[lola456]

Wydaje mi się właśnie że to jedyny wniosek jaki można wyciągnąć z w.w rozumowania. Dziękuję bardzo za pomoc