Zbieżność szeregu.

[xdominika]

Znaleźć zbiór \(\displaystyle{ x>0}\), dla których zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x ^{n ^{2} } }{2 ^{n} } }\). Promień zbeżności wyszedł mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), jednak przez to, że x jest podniesiony do potęgi \(\displaystyle{ n^{2} }\) nie do końca wiem, jak ten przedział znaleźć.

[Premislav]

Nie bardzo jest tu sens mówić o promieniu zbieżności, chyba że lekko naciągając znaczenie.
Poprawna odpowiedź (zważywszy, że bierzemy pod uwagę tylko liczby dodatnie) to \(\displaystyle{ x\in(0,1]}\). Dla
\(\displaystyle{ x=1}\) szereg jest zbieżny, gdyż redukuje się do \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}}\), czyli znanego nam dobrze zbieżnego szeregu geometrycznego i stąd przez kryterium porównawcze mamy zbieżność szeregu dla \(\displaystyle{ x\in(0,1]}\), a jeśli \(\displaystyle{ x=1+\epsilon, \epsilon>0}\), to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) jest \(\displaystyle{ x^{n^{2}}=\left(x^{n}\right)^{n}=\left((1+\epsilon)^{n}\right)^{n}\ge\left(1+n\epsilon\right)^{n}\ge 2^{n}}\)
a więc warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony.

Można też bardziej standardowo do tego podejść, traktując to jak szereg liczbowy z parametrem i stosując kryterium Cauchy'ego.
Ale przecież \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x^{n^{2}}}=x^{n}}\)…

[a4karo]

Nie bardzo jest tu sens mówić o promieniu zbieżności, chyba że lekko naciągając znaczenie.
Poprawna odpowiedź (zważywszy, że bierzemy pod uwagę tylko liczby dodatnie) to \(\displaystyle{ x\in(0,1]}\). Dla
\(\displaystyle{ x=1}\) szereg jest zbieżny, gdyż redukuje się do \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}}\), czyli znanego nam dobrze zbieżnego szeregu geometrycznego i stąd przez kryterium porównawcze mamy zbieżność szeregu dla \(\displaystyle{ x\in(0,1]}\), a jeśli \(\displaystyle{ x=1+\epsilon, \epsilon>0}\), to dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) jest \(\displaystyle{ x^{n^{2}}=\left(x^{n}\right)^{n}=\left((1+\epsilon)^{n}\right)^{n}\ge\left(1+n\epsilon\right)^{n}\ge 2^{n}}\)
a więc warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony.

Można też bardziej standardowo do tego podejść, traktując to jak szereg liczbowy z parametrem i stosując kryterium Cauchy'ego.
Ale przecież \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x^{n^{2}}}=x^{n}}\)…

A naciąganie znaczenia polega na tym, że można mówić o szeregu potęgowym o nieco przerzedzonych wyrazach, a jego promień zbieżności można wyznaczyć choćby ze wzoru
$$R=\frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}},$$
gdzie
$$a_n=\begin{cases} \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} & \text{gdy } n \text{ jest kwadratem}\\0 & \text{w przeciwnym razie}.\end{cases}$$
Zatem $$R=\frac{1}{\limsup 2^{1/\sqrt{n}}}=1$$