Szereg Fouriera

[Albi]

Rozwiń na przedziale \(\displaystyle{ [−π, π]}\) funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w szereg trygonometryczny Fouriera

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} -(x+ \pi ) &- \pi \le x < - \frac{ \pi }{2} \\ x &- \frac{ \pi }{2} \le x \le \frac{ \pi }{2} \\ -(x- \pi ) & \frac{ \pi }{2} \le x < \pi \end{cases} }\)

A następnie oblicz sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(2n-1) ^{2} } }\).
Funkcja jest nieparzysta więc przyjmuję \(\displaystyle{ a_n, a_0 = 0}\) I liczę \(\displaystyle{ b_n}\) i mam problem bo otrzymuję wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi n ^{2}} \sin\left( \frac{n \pi }{2}\right) }\)
I mam problem bo dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystych mam raz \(\displaystyle{ -1}\) a raz \(\displaystyle{ 1}\) więc powinienem zapisać to jako \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi n ^{2}}\cdot (-1)^ {2n-1} }\)? ale jak mam przez to obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(2n-1) ^{2} } }\) gdy mam zależną od \(\displaystyle{ n}\) w liczniku?