Witam serdecznie, nie potrafię sobie poradzić z tym zadaniem, więc proszę o jakąś wskazówkę. Być może brakuje mi jakiejś wiedzy z zakresu teoretycznego, znam kryterium weierstrassa, ale nie mam pojęcia czy się tu nadaje.
Polecenie:
Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2 }^{ \infty} \frac{1}{\ln(n) ^{\ln(n)} }\cdot(\sin(n!+ x^{3})+3) }\) na \(\displaystyle{ \RR}\).
Zacytuj twierdzenie/twierdzenia z których korzystasz.
zbadaj zbieżność jednostajną szeregu
-
senek
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 19 mar 2017, o 10:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
zbadaj zbieżność jednostajną szeregu
Ostatnio zmieniony 10 sty 2020, o 23:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: zbadaj zbieżność jednostajną szeregu
Udowodnimy, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (\ln n)^{\ln n}>n^{2}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\ln t}\) jest rosnąca, więc dla \(\displaystyle{ n>1}\) równoważnie mamy
\(\displaystyle{ \ln n \cdot \ln(\ln n)>2\ln n\\ \ln(\ln n)>2}\)
a to jest oczywiste dla \(\displaystyle{ n>e^{e^{2}}}\).
Ponadto z nierówności trójkąta i prostego ograniczenia \(\displaystyle{ |\sin t|\le 1, \ t\in \RR}\) wynika, że
\(\displaystyle{ |\sin\left(n!+x^{3}\right)+3|\le |\sin\left(n!+x^{3}\right)|+3\le 4}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN^{+}, \ x\in \RR}\). Wobec tego dla \(\displaystyle{ x\in \RR, \ n>e^{e^{2}}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\left(\sin \left(n!+x^{3}\right)+3\right)\right|<\frac{4}{n^{2}}}\), a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}}\) jest zbieżny. Natomiast tylko skończenie wiele wyrazów naszego szeregu funkcyjnego nie spełnia wspomnianej nierówności, i wartości bezwzględne tych wyrazów można ograniczyć z góry np. przez \(\displaystyle{ \frac{4}{(\ln 2)^{\ln 2}}}\), niezależnie od \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Na mocy kryterium Weierstrassa szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\left(\sin \left(n!+x^{3}\right)+3\right)}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ \RR}\).
A tutaj kryterium Weierstrassa:
\(\displaystyle{ (\ln n)^{\ln n}>n^{2}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\ln t}\) jest rosnąca, więc dla \(\displaystyle{ n>1}\) równoważnie mamy
\(\displaystyle{ \ln n \cdot \ln(\ln n)>2\ln n\\ \ln(\ln n)>2}\)
a to jest oczywiste dla \(\displaystyle{ n>e^{e^{2}}}\).
Ponadto z nierówności trójkąta i prostego ograniczenia \(\displaystyle{ |\sin t|\le 1, \ t\in \RR}\) wynika, że
\(\displaystyle{ |\sin\left(n!+x^{3}\right)+3|\le |\sin\left(n!+x^{3}\right)|+3\le 4}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN^{+}, \ x\in \RR}\). Wobec tego dla \(\displaystyle{ x\in \RR, \ n>e^{e^{2}}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\left(\sin \left(n!+x^{3}\right)+3\right)\right|<\frac{4}{n^{2}}}\), a szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}}\) jest zbieżny. Natomiast tylko skończenie wiele wyrazów naszego szeregu funkcyjnego nie spełnia wspomnianej nierówności, i wartości bezwzględne tych wyrazów można ograniczyć z góry np. przez \(\displaystyle{ \frac{4}{(\ln 2)^{\ln 2}}}\), niezależnie od \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Na mocy kryterium Weierstrassa szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\left(\sin \left(n!+x^{3}\right)+3\right)}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ \RR}\).
A tutaj kryterium Weierstrassa:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kryterium_Weierstrassa