Przedzial zbieżności szeregu

[danielbr3]

Pomoże mi ktoś to rozwiązać bo nie mam na to pomysłu. Mam znaleźć przedział zbieżności.
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^n} }\)
Na razie znalazłem tylko ze dla \(\displaystyle{ \left| x\right|>1 }\) nie jest spełniony warunek konieczny.

[Janusz Tracz]

Możesz za pomocą kryterium ilorazowego z \(\displaystyle{ x^n}\) udowodnić, że dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1 }\) szereg jest zbieżny. Wszędzie poza o ile \(\displaystyle{ x \neq 1}\) lub \(\displaystyle{ x \neq -1}\) szereg nie spełnia warunku koniecznego.

[danielbr3]

Teraz jeszcze w sumie wyszlo cos z d'Alemberta. Z tego chyba tez wychodzi poprawnie. Oczywiscie dla \(\displaystyle{ \left| x\right|<1 }\)

Dodano po 2 godzinach 21 minutach 17 sekundach:
Chciałbym poprosić o pomoc w jeszcze jednym zadaniu. Mam policzyc calke:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \left( \sum_{1}^{\infty} e ^{-nx} \right) }\)
Sprawdzilem zalozenia i na podstawie twierdzenie o calkowaniu szeregu funkcyjnego policzylem ze ma wartosc
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n} \left( e ^{-n} -e ^{-2n}\right) }\)
Mam teraz jeszcze wykazac ze ta calka jest dodatnia i mniejsza od 0.5 i nie wiem jak sie za to zabrac.

[Premislav]

Dobrze obliczyłeś. natomiast można było też (to chyba znacznie wygodniejsze) użyć wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zwinąć
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}}\), potem całkę liczy się łatwo przez podstawienie \(\displaystyle{ t=e^{-x}}\).

Natomiast z tej postaci, którą otrzymałeś, też można uzyskać dodatniość, gdyż każdy składnik tej sumy jest dodatni.

[danielbr3]

Dziękuje, rzeczywiście wtedy łatwo się to liczy.

Może mi ktoś sprawdzic jeszcze wynik innego przykladu.
Mam policzyc sumę szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty} \frac{\left( -1\right) ^{n} x ^{n+1} }{n\left( n+1\right) } }\)
Zastosowałem podwójnie twierdzenie o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu potęgowego i wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ x-x\ln\left( 1+x\right)-\ln\left( 1+x\right) }\)

[Premislav]

Jeżeli człowiek ma trochę obycia z szeregami Taylora znanych funkcji, to jasne jest, że ta suma wynosi
\(\displaystyle{ -\int_{0}^{x}\ln(1+t)\mbox{d}t=-\left((1+x)\ln(1+x)-x\right)}\)
co zgadza się z Twoim wynikiem.