Zbadaj zbieżność ciągu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Termigez
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lis 2019, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 2 razy

Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: Termigez »

Witam serdecznie, nie potrafię sobie poradzić z tymi zadaniami, więc prosiłbym o wskazówkę co robię źle, ale pokazanie jak to należy zrobić.

1.
\(\displaystyle{ F_{n}(x) = e^{ \frac{ x^{2} }{n} } }\)

a więc najpierw badam zbieżność punktową i wyjdzie że \(\displaystyle{ f(x) = 1}\) bo wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{n}}\) będzie mi zbiegać do \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ e^0 = 1}\).

i mając granicę punktową mogę sprawdzić zbieżność jednostajną ze wzoru dla lim n dążącego do \(\displaystyle{ \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_n = \sup\left| e^{ \frac{ x^{2} }{n} } - 1 \right| }\)

najpierw chcę policzyć z tego pochodną, pozwoliłem sobie tutaj opuścić wartość bezwzgledną (może tu jest błąd i tego nie mogę zrobić?)

\(\displaystyle{ g(x) = \left| e^{ \frac{ x^{2} }{n} } - 1 \right| = e^{ \frac{ x^{2} }{n} } - 1 }\)

\(\displaystyle{ g'(x) = \left( e^{ \frac{ x^{2} }{n} }\right)' = e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot \left( \frac{ x^{2} }{n}\right)'=e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot \frac{( x^{2} )' \cdot n - x^{2} \cdot (n)' }{ n^{2} } =e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot \frac{2xn}{ n^{2} } }\)

i wiem, że powinienem teraz to porównać do \(\displaystyle{ 0}\) i sprawdzić dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) to równanie da nam \(\displaystyle{ 0}\), ale kompletnie nie radzę sobie z tymi liczbami. Czy gdzieś się pomyliłem w rachunkach, czy też jest wszystko dobrze i trzeba działać z tym dalej? Jeśli działamy dalej to może ktoś pokazać jak?

2.
\(\displaystyle{ F_{n}(x) = \frac{1}{ n^{2} \cdot x^{2} + 1 } }\)

\(\displaystyle{ f(x) = 0}\)

teraz sprawdzamy zbieżność jednostajną

\(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{ n^{2} \cdot x^{2} + 1 }\\
g'(x) = \left( \frac{1}{ n^{2} \cdot x^{2} + 1 }\right)' = -\frac{1}{ n^{2} \cdot x^{2} + 1 } \cdot ( n^{2} \cdot x^{2} + 1)' = -\frac{1}{ n^{2} \cdot x^{2} + 1 } \cdot 2 n^{2} x = - \frac{2 n^{2} x}{ n^{2} \cdot x^{2} + 1 }}\)


i ponownie porównuję to do \(\displaystyle{ 0}\), i wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x=0}\). Podstawiam to do funkcji \(\displaystyle{ x(g)}\) i liczę granicę dostając:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } = \frac{1}{1} = 1}\)

wniosek taki że zbieżność jednostajna nie występuje? Czy to zadanie wykonane zostało dobrze?

Dziękuję z góry za pomoc.
Ostatnio zmieniony 19 lis 2019, o 23:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: MrCommando »

1. Dlaczego uważasz, że możemy po prostu opuścić moduł? Przecież wrażenie pod modułem nie musi być nieujemne.
A może tak:
\(\displaystyle{ \sup_{x\in \mathbb{R}} \left|e^{\frac{x^2}{n}}-1\right| \geq \left|e^{\frac{\sqrt{n}^2}{n}}-1\right| =e-1}\).
Pokazaliśmy tak, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) znajdziemy taki argument \(\displaystyle{ x=\sqrt{n}}\), że rozważane supremum jest nie mniejsze niż \(\displaystyle{ e-1}\). I jaki wniosek?

2. Źle policzyłeś pochodną. W mianowniku powinien być kwadrat. Ale idea jest dobra (chyba - o ile rozumiem co masz na myśli, bo wybacz, ale zapis leży). Pokazujesz, że wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \sup_{x\in \mathbb{R}}\left|\frac{1}{1+n^2x^2}\right|}\) są oszacowane z dołu przez coś dodatniego dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\), zatem nie ma zbieżności jednostajnej.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: Premislav »

MrCommando pisze:Dlaczego uważasz, że możemy po prostu opuścić moduł? Przecież wrażenie pod modułem nie musi być nieujemne.
Wydaje mi się, że nie masz racji: jest \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{n}\ge 0 , \ x\in \RR, \ n\in\NN^{+}}\), więc \(\displaystyle{ e^{\frac{x^{2}}{n}}\ge 1}\) i \(\displaystyle{ e^{\frac{x^{2}}{n}}-1\ge 0}\).
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 554
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 107 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: MrCommando »

Premislav pisze: 19 lis 2019, o 23:52
MrCommando pisze:Dlaczego uważasz, że możemy po prostu opuścić moduł? Przecież wrażenie pod modułem nie musi być nieujemne.
Wydaje mi się, że nie masz racji: jest \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{n}\ge 0 , \ x\in \RR, \ n\in\NN^{+}}\), więc \(\displaystyle{ e^{\frac{x^{2}}{n}}\ge 1}\) i \(\displaystyle{ e^{\frac{x^{2}}{n}}-1\ge 0}\).
Oczywiście, dzięki. Czasem szybciej piszę niż myślę, jeszcze o tej porze to w ogóle. Ubzdurało mi się, że to jest \(\displaystyle{ e^{\frac{x}{n}}}\), a nie \(\displaystyle{ e^{\frac{x^2}{n}}}\).

EDIT: Aha, skoro tak, to dodam, że liczenie pochodnej z \(\displaystyle{ \frac{x^2}{n}}\) za pomocą wzoru na pochodną ilorazu to trochę przegięcie, prościej po prostu wyłączyć stałą przed pochodną i skorzystać ze wzoru na pochodną wielomianu - mniejsze ryzyko, że pomylisz się w obliczeniach.
Termigez
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lis 2019, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 2 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: Termigez »

1. Dziękuję MrCommando za pomoc. Jeśli chodzi o Twoje rozwiązanie to z tego co rozumiem to skoro granica z supremum ma być = 0 to samo supremum musi zbiegać do 0, a w tym wypadku skoro jest nie mniejsze od e - 1 to nie ma zbieżności jednostajnej?

A gdybym nie wpadł na Twój pomysł, to według Twojej sugestii powinienem rozwiązać to tak:

\(\displaystyle{ g'(x) = (e^{ \frac{ x^{2} }{n} })' = e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot \frac{ x^{2} }{n} =
e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot \frac{1}{n} \cdot 2x = \frac{e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot 2x}{n} }\)

\(\displaystyle{ \frac{e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot 2x}{n} = 0 \Rightarrow e^{ \frac{ x^{2} }{n} } \cdot 2x = 0}\)

czy da się tutaj jakoś ładnie wyciągnąć x czy jedynie wyjdzie, że to równanie będzie = 0 dla x = 0.

Jeśli ta druga opcja to:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } e^{0} - 1 = 0}\) a więc wniosek byłby taki, że jednak jest zbieżność jednostajna i źle rozumiem teorię?

2. Wybacz za zapis, postarałem się rozwiązać to raz jeszcze poprawiając swój błąd.

\(\displaystyle{ g'(x) = ( \frac{1}{ n^{2} x^{2} + 1} )' = - \frac{1}{ ( n^{2} x^{2} +1)^{2} } \cdot (n^{2} x^{2} +1)' =
-\frac{1}{ ( n^{2} x^{2} )^{2} + 2 n^{2} x^{2} + 1} \cdot 2 n^{2}x = -\frac{2 n^{2}x}{ ( n^{2} x^{2} )^{2} + 2 n^{2} x^{2} + 1} }\)


\(\displaystyle{ -\frac{2 n^{2}x}{ ( n^{2} x^{2} )^{2} + 2 n^{2} x^{2} + 1} = 0 \Rightarrow 2 n^{2}x = 0 \Rightarrow x = 0 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1} = 1 }\) i wniosek jak poprzednio, że zbieżność jednostajna nie występuje
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: a4karo »

w 2) liczenie pochodnej jest zbędne. Policz poprawnie granicę (bo źle ją policzyłeś) i zobacz co się stanie
Termigez
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lis 2019, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 2 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: Termigez »

2) Zakładam, że skoro Twoim zdaniem pochodne są tu niepotrzebne, to chodzi o pierwszą granicę dla wyznaczenia zbieżności punktowej.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ n^{2} x^{2} + 1} = \lim_{n \to \infty } \frac{ n^{2}( \frac{1}{ n^{2} }) }{ n^{2}( x^{2} + \frac{1}{ n^{2} } ) } }\)

Skracam \(\displaystyle{ n^{2} }\), wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{ n^{2} } }\) zbiega do 0, a więc wychodzi \(\displaystyle{ \frac{0}{ x^{2} } }\), co nam daje 0 dla x \(\displaystyle{ \neq }\) od 0. Czy to właśnie o ten warunek chodzi? Czy coś źle liczę/rozumuję?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbadaj zbieżność ciągu

Post autor: a4karo »

Dla zera ten myk nie przejdzie. Granicą nie jest ciągła, więc zbieżność nie może być jednostajna
ODPOWIEDZ