Zbadać czy funkcja jest parzysta
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 8 paź 2019, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Zbadać czy funkcja jest parzysta
Dostałem takie zadanie i nie wiem czy dobrze zrobiłem.
Zbadaj czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \ln(x+\sqrt{1 + x^2}}\)) jest parzysta
Aby funkcja była parzysta: \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(-x_{1})}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}) = \ln(-x_{1}+\sqrt{1 +(-x_{1})^2})}\)
\(\displaystyle{ \ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}) = \ln(-x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}\)
\(\displaystyle{ \frac{\ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}{\ln(-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})} = 1 }\)
\(\displaystyle{ \log_{(-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})}(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})=1}\)
\(\displaystyle{ (-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})^{1} = (x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}\)
\(\displaystyle{ -x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}} = x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}}\)
\(\displaystyle{ -x_{1} \neq x_{1}}\)
Odp: funkcja nie jest parzysta
Ps: pierwszy raz używam LaTeX-a, więc mogłem porobić bałagan w równaniach, ale postaram się naprawić
Zbadaj czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \ln(x+\sqrt{1 + x^2}}\)) jest parzysta
Aby funkcja była parzysta: \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(-x_{1})}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}) = \ln(-x_{1}+\sqrt{1 +(-x_{1})^2})}\)
\(\displaystyle{ \ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}) = \ln(-x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}\)
\(\displaystyle{ \frac{\ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}{\ln(-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})} = 1 }\)
\(\displaystyle{ \log_{(-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})}(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})=1}\)
\(\displaystyle{ (-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})^{1} = (x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}\)
\(\displaystyle{ -x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}} = x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}}\)
\(\displaystyle{ -x_{1} \neq x_{1}}\)
Odp: funkcja nie jest parzysta
Ps: pierwszy raz używam LaTeX-a, więc mogłem porobić bałagan w równaniach, ale postaram się naprawić
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zbadać czy funkcja jest parzysta
Ło matko! Lubisz sobie poznaczkować?
Przekształcamy równoważnie:
\(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)
\(\displaystyle{ \ln\left( x+\sqrt{1 + x^{2}}\right) = \ln\left( -x+\sqrt{1 +(-x)^2}\right)}\)
\(\displaystyle{ x+\sqrt{1 + x^{2}} = -x+\sqrt{1 + x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ x = -x}\)
więc nie dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\). Funkcja nie jest parzysta.
JK
Przekształcamy równoważnie:
\(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)
\(\displaystyle{ \ln\left( x+\sqrt{1 + x^{2}}\right) = \ln\left( -x+\sqrt{1 +(-x)^2}\right)}\)
\(\displaystyle{ x+\sqrt{1 + x^{2}} = -x+\sqrt{1 + x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ x = -x}\)
więc nie dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\). Funkcja nie jest parzysta.
JK
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Zbadać czy funkcja jest parzysta
warto skorzystać z tego że \(\displaystyle{ (x+\sqrt{1 + x^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=1}\)Abbion pisze: ↑27 paź 2019, o 20:42 Dostałem takie zadanie i nie wiem czy dobrze zrobiłem.
Zbadaj czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \ln(x+\sqrt{1 + x^2})}\)) jest parzysta
Odp: funkcja nie jest parzysta
Ps: pierwszy raz używam LaTeX-a, więc mogłem porobić bałagan w równaniach, ale postaram się naprawić
\(\displaystyle{ f(-x) = \ln(-x+\sqrt{1 +(- x)^2})=\ln( \frac{1}{ x+\sqrt{1 +x^2}})=-\ln(x+\sqrt{1 +x^2})=-f(x)}\)
funkcja jest nieparzysta - nawiasem mówiąc nazywa się area sinus hiperboliczny
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zbadać czy funkcja jest parzysta
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest parzysta, gdy
\(\displaystyle{ x }\) i \(\displaystyle{ -x \in D_{f} }\) i \(\displaystyle{ f(x) = f(-x), }\)
\(\displaystyle{ D_{f} = ... }\)
Funkcja logarytm naturalny jest funkcją różnowartościową (rosnącą), więc
\(\displaystyle{ f(x) = \ln( x + \sqrt{1 +x^2}) .?.. \ln( -x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = f(-x).}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją ....
Po co ten iloraz porównywany z \(\displaystyle{ 1?}\)
\(\displaystyle{ x }\) i \(\displaystyle{ -x \in D_{f} }\) i \(\displaystyle{ f(x) = f(-x), }\)
\(\displaystyle{ D_{f} = ... }\)
Funkcja logarytm naturalny jest funkcją różnowartościową (rosnącą), więc
\(\displaystyle{ f(x) = \ln( x + \sqrt{1 +x^2}) .?.. \ln( -x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = f(-x).}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją ....
Po co ten iloraz porównywany z \(\displaystyle{ 1?}\)
Ostatnio zmieniony 27 paź 2019, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zbadać czy funkcja jest parzysta
Poza tym, że potencjalnie podzieliłeś przez zero, to nie.
No tu akurat mamy całe \(\displaystyle{ \RR}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Zbadać czy funkcja jest parzysta
Ustalenie dziedziny powinno odbyć się przed wykazywaniem - to miałem na myśli.
Wiele widzieliśmy tu zadań (akurat nie to), gdzie ustalenie dziedziny kończyło wykazywanie.
Wiele widzieliśmy tu zadań (akurat nie to), gdzie ustalenie dziedziny kończyło wykazywanie.