Zbadać zbieżność za pomocą kryterium Cauchy'ego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
olczis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 22 lis 2018, o 22:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy

Zbadać zbieżność za pomocą kryterium Cauchy'ego

Post autor: olczis »

\(\displaystyle{
\sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{1}{4 ^{n} } \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} } \right)^{n ^{3} }
}\)

według kryterium Cauchy'ego
\(\displaystyle{
\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a _{n} } =g
}\)

czyli wszystko idzie pod pierwiastek i wychodzi mi
\(\displaystyle{
\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} }\right)^{3} = \frac{1}{4}
}\)

gdzie cała granica wychodzi
\(\displaystyle{

\frac{1}{4} <1 }\)

czyli szereg powinien być zbieżny,
gdzie popełniam bład ?
w odpowiedziach jest rozbieżny
Ostatnio zmieniony 25 paź 2019, o 17:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać zbieżność za pomocą kryterium Cauchy'ego

Post autor: Jan Kraszewski »

Robisz błąd rachunkowy. Pokaż jak liczysz

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4 ^{n} } \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} } \right)^{n^3}\right)^{\frac{1}{n}} .}\)

JK
olczis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 22 lis 2018, o 22:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 2 razy

Re: Zbadać zbieżność za pomocą kryterium Cauchy'ego

Post autor: olczis »

Jan Kraszewski pisze: 25 paź 2019, o 17:55 Robisz błąd rachunkowy. Pokaż jak liczysz

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4 ^{n} } \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} } \right)^{n^3}\right)^{\frac{1}{n}} .}\)

JK
czyli
\(\displaystyle{
\sqrt[n]{ \frac{1}{4 ^{n} }\cdot \left( \frac{n ^{2} +3}{n ^{2} } \right) } ^{n ^{3} } = \frac{1}{4 }} \cdot \left( \frac{n ^{2} +3}{n ^{2} } \right) ^{n ^{2}



}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbadać zbieżność za pomocą kryterium Cauchy'ego

Post autor: a4karo »

No to teraz zbadaj tę granicę.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2019, o 17:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ