Zbieżność szeregu

[Precelina]

Udowodnić,że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{|a_n|}{n} }\) jest zbieżny to \(\displaystyle{ \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \rightarrow
0 }\).

Z podstawowego kryterium zbieżności wynika,że jeśli ten szereg jest zbieżny to \(\displaystyle{ \lim{\dfrac{|a_n|}{n} = 0 }}\) jednak nie potrafię wykazać dalszej części tego zadania jakaś wskazówka?

[Janusz Tracz]

Ja bym powiedział, że oprócz tego iż \(\displaystyle{ \frac{|a_n|}{n}\to 0 }\) co wynika z warunku koniecznego to nawet \(\displaystyle{ a_n\to 0}\). Gdyby bowiem \(\displaystyle{ a_n\not\to 0}\) to istniała by dodatnia liczba \(\displaystyle{ g-\delta}\) taka, że:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g-\delta}{n} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|a_n|}{n} }\)

co prowadzi do sprzeczności gdyż lewa strona jest rozbieżna (a nie może być bo prawa jest zbieżna). Zatem mocniejszym wnioskiem jest \(\displaystyle{ a_n\to 0}\) a wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) znajdzie się taki próg \(\displaystyle{ N}\) od którego dla \(\displaystyle{ k>N}\) będzie:

\(\displaystyle{ -\epsilon<a_k<\epsilon}\)

sumując nierówność od \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ n}\) mamy:

\(\displaystyle{ -\epsilon(n-k)<a_k+a_{k+1}+...+a_n<\epsilon(n-k)}\)

\(\displaystyle{ -\epsilon< \frac{a_k+a_{k+1}+...+a_n}{n-k} <\epsilon}\)

\(\displaystyle{ -\epsilon+ \frac{a_1+...+a_{k-1}}{n-k}< \frac{a_k+a_{k+1}+...+a_n}{n-k}+ \frac{a_1+...+a_{k-1}}{n-k} <\epsilon + \frac{a_1+...+a_{k-1}}{n-k} }\)

\(\displaystyle{ -\epsilon+ \frac{a_1+...+a_{k-1}}{n-k}< \frac{a_1+...+a_{k-1}+a_k+a_{k+1}+...+a_n}{n} \cdot \frac{n}{n-k} <\epsilon + \frac{a_1+...+a_{k-1}}{n-k} }\)

idąc teraz z \(\displaystyle{ n\to \infty }\) dostajemy z tezę.

Dodano po 5 minutach 47 sekundach:
Albo można policzyć ile wynosi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} }\) z twierdzenia Stolza mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_1+a_2+...+a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})}{n-(n-1)}=\lim_{n \to \infty } a_n=0 }\)

[Premislav]

Ja bym powiedział, że oprócz tego iż \(\displaystyle{ \frac{|a_n|}{n}\to 0 }\) co wynika z warunku koniecznego to nawet \(\displaystyle{ a_n\to 0}\).

Nie jest to prawdą, rozważ ciąg
\(\displaystyle{ a_{n}=\begin{cases}1 \text{ gdy}(\exists k\in \NN^+)\left(n=k^{2}\right)\\0 \text{ w przeciwnym przypadku }\end{cases}}\).

Wówczas oczywiście
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_{n}|}{n}}\) jest zbieżny, wszak \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}}\) jest zbieżny, ale na pewno
\(\displaystyle{ a_{n}}\) nie dąży do zera, wszak ma podciąg zbieżny do \(\displaystyle{ 1}\).

[Janusz Tracz]

Ok, więc moja propozycja się sypie bo \(\displaystyle{ a_n}\) może nie mieć granicy. Przy dodatkowym założeniu, że \(\displaystyle{ a_n}\) ma granicę powinno być ok ale w pełnej ogólności nie mam pomysłu na naprawę tego.

[Dasio11]

Podpowiedź: ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego.