jak obliczyć sumę szeregu

[matmac75]

Witam ! jestem tu nowy i mam ograniczoną wiedzę matematyczną. Proszę o wyrozumiałość. Chciałbym obliczyć sumę wszystkich wyrazów poniższego szeregu. Gdybyśmy opisali na okręgu wszystkie wielokąty foremne począwszy od trójkąta to szereg ten jest sumą długości połowy jednego boku każdego z wielokątów foremnych.Takie sobie wymyśliłem zadanie i chciałbym je rozwiązać. Oczywiście zdaję sobie sprawę, że ktoś to już obliczył ale trudno w ogóle sformułować pytanie w googlach aby znaleźć odpowiedź. Proszę o pomoc.
\[a_{n}=\frac{1}{\tg\left(\frac{\pi-\frac{2\pi}{2+n}}{2}\right)}\]

[Gosda]

Czy szereg

\(\displaystyle{ \sum_n a_n}\)

jest w ogóle zbieżny? Moim zdaniem, nie. Rozwiń tangens w szereg Taylora wokół \(\displaystyle{ x = \pi/2}\) i zauważ, że Twój szereg można szacować z dołu szeregiem harmonicznym, który jest rozbieżny.

[Premislav]

Na temat interpretacji geometrycznej się nie wypowiem, ponieważ jestem idiotą z planimetrii, natomiast szereg o takich wyrazach jest rozbieżny.
Mamy \(\displaystyle{ \tg \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg x}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{\ctg x}=\tg x}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ x}\) (różnych od \(\displaystyle{ k\frac{\pi}{2}, \ k\in \ZZ}\)), a wobec tego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\tg\left(\frac{\pi-\frac{2\pi}{2+n}}{2}\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ctg\left(\frac{\pi}{2+n}\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\tg\left(\frac{\pi}{2+n}\right)}\)
Nie trzeba rozwijać w szereg, wystarczy nierówność
\(\displaystyle{ \tg x>x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\).

[matmac75]

nie możliwe aby ten szereg był rozbieżny (chyba , że źle napisałem wzór). Napisałem krótki program w Turbo Pascalu, który w przybliżeniu zlicza kolejne wyrazy tego szeregu.Komputer już dodał 7.5 miliarda wyrazów i wynik zbliża się do 69.8, a kolejne wyrazy są coraz mniejsze ...wynik rośnie coraz wolniej.

[Premislav]

A jak doszedłeś do wzoru na wyraz ciągu? Zastanowiłbym się, ale nie podałeś promienia okręgu, więc nie chcę zgadywać. A tam u mnie suma powinna być od \(\displaystyle{ n=3}\), ale to nie zmienia kwestii zbieżności/rozbieżności.

[matmac75]

\(\displaystyle{ r=1}\)

[Premislav]

Dobra, rozrysowałem to sobie (podzieliłem sobie n-kąt foremny na trójkąty równoramienne), no to to Twój wzorek się w zasadzie zgadza, z tym że dla \(\displaystyle{ n=1}\) będzie dla trójkąta foremnego, dla \(\displaystyle{ n=2}\) dla czworokąta foremnego i tak dalej (czyli jest takie przesunięcie o \(\displaystyle{ 2}\)). Szereg jest rozbieżny, nic na to nie poradzisz, może popełniłeś błąd pisząc program…

[matmac75]

Premislav <--- Dzięki za zaangażowanie ! skoro szereg harmoniczny jest rozbieżny to się nie dziwię, że ten wzór , który przedstawiłem jest szeregiem rozbieżnym. Jakoś jednak mi to nie przechodzi przez płaty mojego małego mózgu, że sumując kolejne coraz to krótsze odcinki nie dojdę do stanowczej granicy. Tak czy siak mój stary laptop będzie mulił dodawanie przez kilka dni jeszcze albo i dłużej...tymczasem:10.3 miliarda dodań i wynik w przybliżeniu 70.7 dla promienia r=1

[a4karo]

\(n\)-ta suma częściowa tego szeregu jest mniej więcej proporcjonalna do \(\pi\ln n\), a to wyrażenie rośnie baaaardzo wolno.