Mam za zadanie zbadać zbieżność jednostajną takiego szeregu :
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{(n+x^2)\ln ^2(n)}}\)
Niestety, kompletnie nie mogę sobie poradzić z tematem zbieżności jednostajnej szeregów/ciągów funkcyjnych. Czy mógłby ktoś wesprzeć dobrą radą jak takie zadanie się robi i jak się za nie zabierać.
Może są jakieś "typowe" metody na tego typu zadania, jakieś kryteria całkowe czy coś co lepiej pozwala takie zadania robić ?
Zbieżność jednostajna szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbieżność jednostajna szeregu
Ostatnio zmieniony 25 lip 2019, o 17:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Zbieżność jednostajna szeregu
Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\) wszak zbieżność jednostajną trzeba badać na jakimś zbiorze zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)} \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)
A co powiesz o \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln^2n}}\)? I twierdzenia Weierstrassa.
Ogólnych metod przy badaniu szeregów funkcyjnych chyba nie ma (przynajmniej ja nie znam). Najpopularniejsze to Kryterium Weierstrassa, Kryterium Abel, Kryterium Dirichleta i definicja.
\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)} \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)
A co powiesz o \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln^2n}}\)? I twierdzenia Weierstrassa.
Ogólnych metod przy badaniu szeregów funkcyjnych chyba nie ma (przynajmniej ja nie znam). Najpopularniejsze to Kryterium Weierstrassa, Kryterium Abel, Kryterium Dirichleta i definicja.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Zbieżność jednostajna szeregu
Mhm, ok, oczywiście szereg o wyrazie ogólnym po prawej stronie nierówności jest zbieżny więc z tw. Weierstrassa szereg z polecenia jest zbieżny bezwzględnie.Janusz Tracz pisze:Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\) wszak zbieżność jednostajną trzeba badać na jakimś zbiorze zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)} \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)
A co powiesz o \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln^2n}}\)? I twierdzenia Weierstrassa.
Ogólnych metod przy badaniu szeregów funkcyjnych chyba nie ma (przynajmniej ja nie znam). Najpopularniejsze to Kryterium Weierstrassa, Kryterium Abel, Kryterium Dirichleta i definicja.
Postaram się te trzy dobrze nauczyć przed kolejnym moim tematem
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zbieżność jednostajna szeregu
Nie jest to takie oczywiste ale to prawda.Mhm, ok, oczywiście szereg o wyrazie ogólnym po prawej stronie nierówności jest zbieżny ...
Nie. Bo nie badasz zbieżności bezwzględnej tylko jednostajną. Formalnie to powinienem napisać, że:więc z tw. Weierstrassa szereg z polecenia jest zbieżny bezwzględnie.
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)}\right| \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) ale trochę się pospieszyłem i zapomniałem o module. Nie wolno zapominać o module... stąd moja poprawka.-- 25 lip 2019, o 17:53 --PS
Nooo lepiej poucz się tego czego wymaga prowadzący bo ja napisałem trzy kryteria które mi do głowy przychodzą. Nie jestem wyrocznią w temacie zbieżności.Postaram się te trzy dobrze nauczyć przed kolejnym moim tematem