Zbieżność jednostajna szeregu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Zbieżność jednostajna szeregu

Post autor: mmss »

Mam za zadanie zbadać zbieżność jednostajną takiego szeregu :

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{(n+x^2)\ln ^2(n)}}\)

Niestety, kompletnie nie mogę sobie poradzić z tematem zbieżności jednostajnej szeregów/ciągów funkcyjnych. Czy mógłby ktoś wesprzeć dobrą radą jak takie zadanie się robi i jak się za nie zabierać.
Może są jakieś "typowe" metody na tego typu zadania, jakieś kryteria całkowe czy coś co lepiej pozwala takie zadania robić ?
Ostatnio zmieniony 25 lip 2019, o 17:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Zbieżność jednostajna szeregu

Post autor: Janusz Tracz »

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\) wszak zbieżność jednostajną trzeba badać na jakimś zbiorze zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)} \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)

A co powiesz o \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln^2n}}\)? I twierdzenia Weierstrassa.

Ogólnych metod przy badaniu szeregów funkcyjnych chyba nie ma (przynajmniej ja nie znam). Najpopularniejsze to Kryterium Weierstrassa, Kryterium Abel, Kryterium Dirichleta i definicja.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Zbieżność jednostajna szeregu

Post autor: mmss »

Janusz Tracz pisze:Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\) wszak zbieżność jednostajną trzeba badać na jakimś zbiorze zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)} \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)

A co powiesz o \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n\ln^2n}}\)? I twierdzenia Weierstrassa.

Ogólnych metod przy badaniu szeregów funkcyjnych chyba nie ma (przynajmniej ja nie znam). Najpopularniejsze to Kryterium Weierstrassa, Kryterium Abel, Kryterium Dirichleta i definicja.
Mhm, ok, oczywiście szereg o wyrazie ogólnym po prawej stronie nierówności jest zbieżny więc z tw. Weierstrassa szereg z polecenia jest zbieżny bezwzględnie.

Postaram się te trzy dobrze nauczyć przed kolejnym moim tematem
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność jednostajna szeregu

Post autor: Janusz Tracz »

Mhm, ok, oczywiście szereg o wyrazie ogólnym po prawej stronie nierówności jest zbieżny ...
Nie jest to takie oczywiste ale to prawda.
więc z tw. Weierstrassa szereg z polecenia jest zbieżny bezwzględnie.
Nie. Bo nie badasz zbieżności bezwzględnej tylko jednostajną. Formalnie to powinienem napisać, że:

\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin(nx)}{(n+x^2)\ln^2(n)}\right| \le \frac{1}{n\ln^2n}}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) ale trochę się pospieszyłem i zapomniałem o module. Nie wolno zapominać o module... stąd moja poprawka.-- 25 lip 2019, o 17:53 --PS
Postaram się te trzy dobrze nauczyć przed kolejnym moim tematem
Nooo lepiej poucz się tego czego wymaga prowadzący bo ja napisałem trzy kryteria które mi do głowy przychodzą. Nie jestem wyrocznią w temacie zbieżności.
ODPOWIEDZ