Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego

[mmss]

Mam takie zadanie :
Niech \(\displaystyle{ \lim a_{n} = a}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest monotoniczny.
Niech \(\displaystyle{ f(x) : \RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją ciągłą monotoniczną.

Definiujemy ciąg funkcyjny : \(\displaystyle{ f_{n} = f(x + a_{n})}\). Czy ten ciąg jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale \(\displaystyle{ [-M ; M] \subset \RR}\) ?

Mógłbym prosić o wskazówkę do tego zadania ?

-- 25 lip 2019, o 13:11 --

Wiadomo że gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) to \(\displaystyle{ f_{n}(x) \rightarrow f(x+a)}\) więc ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest zbieżny punktowo do funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f(x+a)}\)

[Premislav]

Wskazówka:
funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła na tym przedziale.

-- 25 lip 2019, o 13:30 --

Być może bardziej przyda się twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu przez funkcję ciągłą na niepustym zbiorze zwartym swoich kresów na tym zbiorze.
Wobec tego gdy \(\displaystyle{ n\in \NN}\) jest ustalone, to
\(\displaystyle{ \sup_{x\in [-M, M]}|f(x+a_n)-f(x+a)|}\) jest przyjmowane w pewnym punkcie \(\displaystyle{ x(n)\in [-M, M]}\).

[Jan Kraszewski]

Niech \(\displaystyle{ f(x) : \RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją ciągłą monotoniczną.

Niech \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją ciągłą monotoniczną.

Definiujemy ciąg funkcyjny : \(\displaystyle{ f_{n} = f(x + a_{n})}\).

Definiujemy ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ \left( f_n\right)}\) wzorem \(\displaystyle{ f_{n}(x) = f(x + a_{n})}\).

JK

[Dasio11]

Wskazówka:
funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła na tym przedziale.

Myślę, że ta wskazówka jest lepsza od tej drugiej.