Cześć,
Mam takie zadanie - zbadaj zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego dla \(\displaystyle{ x \in (0; +\infty)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}
\frac{1}{n(1+(n-x)^2)}}\).
Oznaczmy : \(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{1}{n(1+(x-n)^2)}}\). Widzimy że \(\displaystyle{ f_{n} < \frac{1}{n^2} = a_{n}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Więc ddd \(\displaystyle{ n}\), mamy \(\displaystyle{ \left| f_{n}\right| < a_{n}}\).
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}\) jest zbieżny więc na mocy kryt. Weiersstrassa \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}
\frac{1}{n(1+(n-x)^2)}}\) jest zbieżny jednostajnie( i również bezwzględnie).
Czy to jest ok? Czy wielki kit?
Zbieżność szeregu funkcyjnego
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbieżność szeregu funkcyjnego
Kit: nierówność \(\displaystyle{ f_n<\frac{1}{n^2}}\) nie zachodzi, gdy, dajmy na to,
\(\displaystyle{ x\in \left[ n-\frac{\sqrt{n}}{2},n+\frac{\sqrt{n}}{2}\right]}\).
To zadanie ładnie rozwiązał Dasio11 w tym wątku (a ja brzydko):
434081.htm
\(\displaystyle{ x\in \left[ n-\frac{\sqrt{n}}{2},n+\frac{\sqrt{n}}{2}\right]}\).
To zadanie ładnie rozwiązał Dasio11 w tym wątku (a ja brzydko):
434081.htm