Zbieżność szeregów potęgowych

[Pisiuu]

Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania poniższego zadania, z góry dzięki

Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego:

B) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{\sqrt{n}} \left( x+2 \right) ^n}\)

Środek \(\displaystyle{ x_{o} = -2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \left[ \frac{\frac{e ^{n+1} }{\sqrt{n+1}}}{\frac{e^n}{\sqrt{n}}\right] = \lim_{ x\to \infty}} \frac{e^n \cdot e \cdot \sqrt{n}}{e^n\sqrt{n+1}} = e}\)

\(\displaystyle{ R=\frac{1}{e}}\)
Szereg jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ x \in \left( -2-\frac{1}{e}, -2+ \frac{1}{e} \right)}\)

Badanie zbieżności na granicach przedziału:

dla \(\displaystyle{ x = -2 + \frac{1}{e}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{\sqrt{n}}\left( \frac{1}{e}\right) ^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}}\) rozbieżny na mocy kryterium Dirichleta


dla \(\displaystyle{ x = -2 - \frac{1}{e}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{\sqrt{n}}\left( -\frac{1}{e}\right) ^{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( -1 \right) ^n}\)

Kryterium Leibniza

Zbieżność bezwgledna:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left| \frac{1}{\sqrt{n}} \left( -1 \right) ^n\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}}\)

\(\displaystyle{ 1 ^{o}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0}\) spełnia

\(\displaystyle{ 2 ^{o}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 1}}}\) dla każdego n spełnia

To oznacza, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( -1 \right) ^n}\) jest zbieżny

Podsumowując szereg jest zbieżny na \(\displaystyle{ x\in \left\langle -2 - \frac{1}{e}, -2 + \frac{1}{e} \right)}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{\sqrt{n}}(x+2)^2}\)

To nie jest szereg potęgowy. Ale pewnie to literówka. Poza tym jest ok.

[Pisiuu]

Poprawiłem, dziękuje-- 27 cze 2019, o 21:47 --Poprawiłem, dziękuje