Pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej

[aneta909811]

Udowodnić, że pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej

\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{\sin ^{2} \left( \sqrt{n} \cdot x \right) }{n ^{2} }}\)

Udowodniłam, że szereg jest jednostajnie zbieżny na mocy kryterium Dirichleta. Co mi to daje? Co to znaczy, że istnieje na całej osi liczbowej?

[matmatmm]

To twierdzenie może się przydać:

Tw. Niech \(\displaystyle{ P\subset\RR}\) będzie przedziałem ograniczonym oraz \(\displaystyle{ f_n:P\rightarrow\RR}\) funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Jeśli szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n'}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ P}\) oraz szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n(c)}\) jest zbieżny przy pewnym \(\displaystyle{ c\in P}\), to szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ P}\), jego suma jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{\infty}f_n\right) '=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'}\)

PS. W jaki sposób zastosowałaś kryterium Dirichleta? Nie widzę tego.

[aneta909811]

Ale co mi to daje? Jak to ma się do udowodnienia, że pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej?-- 20 cze 2019, o 20:42 --Czy to wynika z tego, że funkcja jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) ?

[matmatmm]

Funkcja klasy \(\displaystyle{ C^1}\) jest różniczkowalna...