Udowodnić, że pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{\sin ^{2} \left( \sqrt{n} \cdot x \right) }{n ^{2} }}\)
Udowodniłam, że szereg jest jednostajnie zbieżny na mocy kryterium Dirichleta. Co mi to daje? Co to znaczy, że istnieje na całej osi liczbowej?
Pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej
-
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej
To twierdzenie może się przydać:
Tw. Niech \(\displaystyle{ P\subset\RR}\) będzie przedziałem ograniczonym oraz \(\displaystyle{ f_n:P\rightarrow\RR}\) funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Jeśli szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n'}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ P}\) oraz szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n(c)}\) jest zbieżny przy pewnym \(\displaystyle{ c\in P}\), to szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ P}\), jego suma jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{\infty}f_n\right) '=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'}\)
PS. W jaki sposób zastosowałaś kryterium Dirichleta? Nie widzę tego.
Tw. Niech \(\displaystyle{ P\subset\RR}\) będzie przedziałem ograniczonym oraz \(\displaystyle{ f_n:P\rightarrow\RR}\) funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Jeśli szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n'}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ P}\) oraz szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n(c)}\) jest zbieżny przy pewnym \(\displaystyle{ c\in P}\), to szereg funkcyjny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n}\) jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ P}\), jego suma jest funkcją klasy \(\displaystyle{ C^1}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \sum_{n=1}^{\infty}f_n\right) '=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'}\)
PS. W jaki sposób zastosowałaś kryterium Dirichleta? Nie widzę tego.
-
- Użytkownik
- Posty: 262
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 69 razy
Pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej
Ale co mi to daje? Jak to ma się do udowodnienia, że pochodna sumy szeregu istnieje na całej osi liczbowej?-- 20 cze 2019, o 20:42 --Czy to wynika z tego, że funkcja jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) ?