Obszar zbieżności szeregu

[Izab321]

Wyznacz obszar zbieżności i sumę szeregu w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^n}\)

[a4karo]

wsk: \(\displaystyle{ t=\frac{x+1}{x-1}}\)

[Janusz Tracz]

Ten szereg jest zbieżny tam gdzie spełnia kryterium Cauchego czyli warunkiek

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{1}{n} \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^n\right| }=\left| \frac{x+1}{x-1}\right|<1}\)

Poza tym trzeba sprawdzić krańce przedziałów poprzez bezpośrednie podstawienie. Więc dlaczego mamy liczyć sumę w \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\)? Tam ten szereg jest rozbieżny.

[Izab321]

Sprawdziłam jeszcze raz , ale tak mam w poleceniu na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)

[Janusz Tracz]

To wstaw \(\displaystyle{ x=1}\) w końcu według treści zadania jest to dozwolone.

PS jakbym miał się bawić we wróżkę to być może autorowi chodziło o to, że podstawieniu zaproponowanym przez a4karo, zmienna \(\displaystyle{ t\in\left[ 0,1\right]}\) a nie \(\displaystyle{ x\in\left[ 0,1\right]}\) ale to jest domyślanie się (co nie powinno mieć miejsca w zadaniu z matematyki). Mocno nieprecyzyjne ale takie podejście ratuje to zadanie. Zatem wstaw \(\displaystyle{ t}\) za radą a4karo i skorzystaj z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego.

PS PS w sumie to też nie ma sensu bo nawet jeśli \(\displaystyle{ t\in\left[ 0,1\right]}\) to dla \(\displaystyle{ t=1}\) szereg będzie rozbieżny. Więc coś z tym zadaniem jest konkretnie nie tak.

[Dasio11]

Może chodzi o \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^n}\).