wyznaczyć sumę szeregu

[grenda1999]

wyznaczyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(x+3)^{n}}{3^{n}(n+1)}}\).

[Premislav]

Podstawmy \(\displaystyle{ t=\frac{x+3}{3}}\), a dostaniemy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n+1}}\)
Ten szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ tin [-1,1)}\). Niech \(\displaystyle{ S(t)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n+1}, \ t\in(-1,1)}\), wówczas \(\displaystyle{ tS(t)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{n+1}}\). Różniczkując obustronnie (szeregi potęgowe różniczkujemy wyraz po wyrazie) dostajemy
\(\displaystyle{ S(t)+tS'(t)=\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{n+1}\right)'\\ S(t)+tS'(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{t^{n+1}}{n+1}\right)'\\= \sum_{n=0}^{\infty}t^n=\frac{1}{1-t}}\)
Czyli otrzymaliśmy równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ S(t)+tS'(t)= \frac{1}{1-t}}\), ponadto \(\displaystyle{ S(0)=1}\).
Całkujemy to równanie obustronnie (po lewej oczywiście pochodna iloczynu) dostając
\(\displaystyle{ tS(t)=-\ln(1-t)+C}\) i kładąc \(\displaystyle{ t=0}\) widzimy, że \(\displaystyle{ C=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ S(t)=- \frac{\ln(1-t)}{t}}\) dla \(\displaystyle{ t\in (-1,1)\setminus\left\{ 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ S(0)=1}\),
wstawiamy \(\displaystyle{ t:=\frac{x+3}{3}}\) i koniec.