Jawny wzór

[aneta909811]

Jak wyznaczyć te szeregi za pomocą jawnego wzoru zależnego od x

\(\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{3^n n^2}}\)
\(\displaystyle{ \sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^n}{4n+3}}\)

[matmatmm]

\(\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{3^n n^2}}\)

Oznaczmy

\(\displaystyle{ f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}}\)

Oznaczmy dalej

\(\displaystyle{ g(x):=x\cdot f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ g'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}}\)

Teraz całkując odpowiednie równości, obliczamy najpierw \(\displaystyle{ g(x)}\), a potem \(\displaystyle{ f(x)}\). Szukana suma wynosi

\(\displaystyle{ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{3^n n^2}=f\left( \frac{x}{3}\right)}\)

Przy tym wszystkim trzeba uzupełnić informacje o promieniach zbieżności wszystkich tych szeregów.

[Premislav]

Tylko tego nie unikniemy, że wynik będzie się odwoływał do funkcji specjalnych, dokładniej do polilogarytmu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+n%3D1+to+infty+x%5En%2Fn%5E2

Trochę mnie więc w sumie dziwi wrzucanie takiego przykładu (ale może to po prostu mój kurs analizy był tak do tyłu z funkcjami specjalnymi, niewykluczone).

Drugi:
najpierw policzymy tę sumę dla \(\displaystyle{ 1>x>0}\). Podstawmy \(\displaystyle{ t=x^{\frac 1 4}}\) i mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{4n}}{4n+3}=\frac{1}{t^3} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{4n+3}}{4n+3}=\frac{1}{t^3} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \int_{0}^{t}u^{4n+2}\,\dd u\right)\\=\frac 1{t^3} \int_{0}^{t}\left( \sum_{n=0}^{\infty}u^{4n+2} \right)\,\dd u=\frac 1 {t^3} \int_{0}^{t} \frac{u^2}{1-u^4}\,\dd u\\=\frac{1}{2t^3} \int_{0}^{t}\left( \frac{1}{1-u^2}-\frac{1}{1+u^2} \right) \,\dd u= \frac{\mathrm{artanh } t-\arctg t}{2t^3}\\=\frac{\mathrm{artanh } x^{\frac 1 4}-\arctg x^{\frac 1 4}}{2x^{\frac 3 4}}}\)

Teraz dla \(\displaystyle{ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^n}{4n+3}}\) i dowolnego \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\)
będzie
\(\displaystyle{ f(x)+f(-x)= 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{8k+3}}\)
zaś tę ostatnią sumę liczymy w tym samym stylu, co poprzednio:
podstawiamy \(\displaystyle{ x^{\frac 1 4}=t}\) i mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{8k}}{8k+3}=\frac{1}{t^3} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{8k+3}}{8k+3} =\frac{1}{t^3} \sum_{k=0}^{\infty}\left( \int_{0}^{t} u^{8k+2}\,\dd u\right) \\= \frac{1}{t^3}\int_{0}^{t}\left( \sum_{k=0}^{\infty}u^{8k+2} \right) \,\dd u=\frac{1}{t^3} \int_{0}^{t} \frac{u^2}{1-u^8}\,\dd u\\=\frac{1}{2t^3} \int_{0}^{t}\left( \frac{1}{(1-u^2)(u^4+1)}-\frac{1}{(1+u^2)(u^4+1)} \right)\,\dd u}\)
i dalej sobie to dolicz (standardowy rozkład na ułamki proste, wskazówka: \(\displaystyle{ u^4+1=(u^2+\sqrt{2}u+1)(u^2-\sqrt{2}u+1)}\)).

W efekcie wiesz, że dla \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\) jest
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\mathrm{artanh } x^{\frac 1 4}-\arctg x^{\frac 1 4}}{2x^{\frac 3 4}}}\), poza tym znasz \(\displaystyle{ f(x)+f(-x)}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), toteż możesz z tego układu równań wyznaczyć \(\displaystyle{ f(-x)}\).
No i (coś mi to przypomina) \(\displaystyle{ f(0)=1}\).