Matematyka.pl

Cześć mógłby ktoś rozpisać mi jak rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{z}{1-z}}\) w szereg Taylora o środku w punkcie \(\displaystyle{ i}\)?

\(\displaystyle{ \frac{z}{1-z}=\frac{z-i+i}{1-i-(z-i)}=\frac{1}{1-i}\cdot \frac{z-i+i}{1- \frac{z-i}{1-i} }=\\=\frac{1+i}{2}\left( (z-i)+i\right) \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z-i}{1-i}\right)^n=\\= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+i}{2(1-i)^n}(z-i)^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{i-1}{2(1-i)^n}(z-i)^{n}=\\=\frac{i-1}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1+i}{2(1-i)^{n-1}}+ \frac{i-1}{2(1-i)^n} \right) z^n}\)
i to w nawiasie jeszcze można uprościć, ale nie wiem, po kiego grzyba.
Aha, oczywiście to działa, gdy \(\displaystyle{ \left| \frac{z-i}{1-i}\right|<1}\)

ok rozumiem, a teraz chcąc wyliczyć promień zbieżności takiego szeregu i wyznaczyć obszar zbieżności to mam policzyć
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1+i}{2(1-i)^{n-1}}+ \frac{i-1}{2(1-i)^n}\right|}=\frac{1}{\sqrt2}}\)

Wiec \(\displaystyle{ R=\sqrt2}\) i szereg zbieżny gdy \(\displaystyle{ |z-i|<\sqrt2}\) więc jest to okrąg o środku w \(\displaystyle{ i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt2}\) tak? Zgadza się czy coś mylę?

Zgadza się, tylko skoro chcesz podać obszar zbieżności, to jeszcze musisz sprawdzić, co będzie, gdy \(\displaystyle{ |z-i|=\sqrt{2}}\). Wtedy szereg nie będzie zbieżny.