Obliczyć sume szeregu

[whatsup1]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x ^{n}}{(n+3)4 ^{n} }}\)
Rozumiem, że trzeba tu zastosować całkowanie szeregu potęgowego - ale jak pozbyć się tej 3 w mianowniku?

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) ta suma wynosi po prostu zero, zaś dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) możemy zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x ^{n}}{(n+3)4 ^{n} }
=\left( \frac x 4\right)^{-3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+3}\cdot \left( \frac x 4\right)^{n+3}=\\=\left( \frac x 4\right)^{-3} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\frac x 4}t^{n+2}\,\dd t=\\= \left( \frac x 4\right)^{-3} \int_{0}^{\frac x 4}\left( \sum_{n=0}^{\infty}t^{n+2} \right)\,\dd t=\\= \left( \frac x 4\right)^{-3} \int_{0}^{\frac x 4} \frac{t^2}{1-t} \,\dd t=\ldots}\)
Oczywiście to działa dla \(\displaystyle{ \left| \frac x 4\right|<1}\), czyli dla \(\displaystyle{ |x|<4}\).

[a4karo]

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) ta suma wynosi po prostu zero, .

Taki sprytny nieciągły szereg.

[Premislav]

Ojezu, dehydrolić to obeszczane \(\displaystyle{ 0^0}\). Nie zwróciłem w sumie uwagi, że suma jest od zera.-- 2 cze 2019, o 12:44 --Uważam, że \(\displaystyle{ 0^0}\) powinno być usunięte z matematyki, za wyjątkiem ew. oznaczenia zbioru funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty (choć i tak nie widzę potrzeby, by tak pisać). Jak mi się będzie chciało, to zgłoszę kiedyś petycję o to.

[a4karo]

A gdybyś usunął 0 to skąd byś wiedział co jest dodatnie a co ujemne

[Premislav]

Nie chodzi o usunięcie zera, tylko o unikanie gdzie się da wyrażenia \(\displaystyle{ 0^0}\), które tylko wprowadza zamęt, a mnie osobiście nie po raz pierwszy wnerwia. Przecież jeśli umówimy się, że w pewnym kontekście nie rozpatrujemy wyrażenia \(\displaystyle{ \left( -\frac 1 2\right)^{-\frac 1 2}}\) (no, możemy w zespolonych, ale i tak tam uzyskujemy dwie możliwe wartości), to nie znaczy, że usuwamy z matematyki \(\displaystyle{ -\frac 1 2}\)…
W teorii szeregów funkcyjnych przyjmuje się \(\displaystyle{ 0^0=1}\) (tak przynajmniej pamiętam z analizy), podobnie pewnie w teorii mnogości, bo jest jedna funkcja ze zbioru pustego w zbiór pusty (funkcja pusta), ale ja bym to po prostu skasował wszędzie poza teorią mnogości. Co z tego, że w pewnych kontekstach niektóre funkcje przestałyby być gdzieś określone?
To jest coś takiego: idzie sobie jedenastoletni chłopak, widzi plakat z mężczyznami homoseksualnymi i myśli sobie „ale to przecież chyba coś nie tak, mężczyźni i kobiety, a nie mężczyźni i mężczyźni" (z tą różnicą, że \(\displaystyle{ 0^0}\) nie jest zjawiskiem z natury, tylko wymysłem ludzi, i usunięcie tego nikogo nie dyskryminuje, nikomu nie wyrządza krzywdy). Tj. może nie mieć (i nie ma) cienia argumentu merytorycznego przeciwko, ale bardzo mocno intuicyjnie czuje, że coś jest nie tak. Mnie jakoś to przeczucie przeszło w pewnych teoriomnogościowych kwestiach, ale \(\displaystyle{ 0^0}\) tępić, nie ma zgody na \(\displaystyle{ 0^0}\). -- 2 cze 2019, o 13:45 --I bardzo proszę tylko nie przyjmować narracji typu „a bo nie rozumiesz głębi", nie rozumieć głębi to mogę w analizie funkcjonalnej czy w analizie stochastycznej, ale nie mówię w żadnym razie, że coś tam jest do kitu, bo jest za mądre dla mnie; to zagadnienie nie ma żadnej szczególnej głębi, tylko po prostu zwięźle mówiąc jest to syf.

[Dasio11]

Ojezu, dehydrolić to obeszczane \(\displaystyle{ 0^0}\). ... Uważam, że \(\displaystyle{ 0^0}\) powinno być usunięte z matematyki, za wyjątkiem ew. oznaczenia zbioru funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty (choć i tak nie widzę potrzeby, by tak pisać). Jak mi się będzie chciało, to zgłoszę kiedyś petycję o to.

Oooooo, nie! Będę bronić \(\displaystyle{ 0^0}\) do ostatniego epsilona!

\(\displaystyle{ 0^0}\) jest w matematyce niezbędnie potrzebne do zachowania zwięzłości zapisu, a przy tym niegroźne jak jamnik w kagańcu!

1. \(\displaystyle{ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot x^{2n}}\) i dla \(\displaystyle{ x = 0}\) co? Chciałbyś za każdym razem pisać \(\displaystyle{ \cos x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot x^{2n}}\) ? I tak samo każdy inny szereg zaczynający się od zera, zresztą od tego zaczęła się dyskusja.

2. To samo dotyczy wielomianów: zamiast \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n a_k x^k}\) wolisz pisać \(\displaystyle{ a_0 + \sum_{k=1}^n a_k x^k}\) ?

3. I jeszcze wielomiany dwóch zmiennych: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{i, j} x^i \cdot y^j}\) zapisujesz jako \(\displaystyle{ a_{0, 0} + \sum_{i=1}^n a_{i, 0} x^i + \sum_{j=1}^m a_{0, j} y^j + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i, j} x^i y^j}\) ?

4. Nad dowolnym ciałem.

Ukryta treść:    

No dobra, to się nie liczy.

4. \(\displaystyle{ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}}\) nie działa dla wszystkich \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\), tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a, b, a+b}\) są jednocześnie niezerowe?

5. Definicja

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol

: dla \(\displaystyle{ n = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}}\) mamy \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{n} \right) = \left( \frac{a}{p_1} \right)^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot \left( \frac{a}{p_k} \right)^{\alpha_k}}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a \equiv 0 \pmod{p_j}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ p_j}\), które nie występuje w rozkładzie \(\displaystyle{ n}\) na czynniki pierwsze. Wtedy

\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{n} \right) = \ldots \cdot \left( \frac{a}{p_j} \right)^{\alpha_j} \cdot \ldots = \ldots \cdot 0^0 \cdot \ldots}\),

do luftu z taką definicją.

I co, pewnie napiszesz, że w definicji rozkład \(\displaystyle{ n = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}}\) powinien zawierać tylko liczby pierwsze, które faktycznie występują w \(\displaystyle{ n}\). Ale tożsamość

\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{mn} \right) = \left( \frac{a}{m} \right) \cdot \left( \frac{a}{n} \right)}\)

to już pewnie chciałbyś mieć? No to pokażmy ją: niech \(\displaystyle{ m = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}}\) i \(\displaystyle{ n = p_1^{\beta_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\beta_k}}\). Wtedy \(\displaystyle{ mn = p_1^{\alpha_1 + \beta_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k + \beta_k}}\), zatem

\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{mn} \right) = \prod_{j=1}^k \left( \frac{a}{p_j} \right)^{\alpha_j + \beta_j} = \prod_{j=1}^k \left( \frac{a}{p_j} \right)^{\alpha_j} \cdot \prod_{j=1}^k \left( \frac{a}{p_j} \right)^{\beta_j} = \left( \frac{a}{m} \right) \cdot \left( \frac{a}{n} \right).}\)

Ale ten dowód nie przechodzi, jeśli z równości \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{m} \right) = \prod_{j=1}^k \left( \frac{a}{p_j} \right)^{\alpha_j}}\) możemy korzystać tylko pod założeniem, że wszystkie \(\displaystyle{ \alpha_j}\) są dodatnie. Wtedy trzeba osobno operować trzema rodzajami liczb pierwszych: występującymi tylko w rozkładzie \(\displaystyle{ n}\), występującymi tylko w rozkładzie \(\displaystyle{ m}\) i występującymi w obu rozkładach. Fuj!

6. Sam przyznałeś: jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są zbiorami skończonymi mocy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) odpowiednio, to \(\displaystyle{ \left| A^B \right| = m^n}\). Podstawiając \(\displaystyle{ A = B = \varnothing}\), dostajemy \(\displaystyle{ 0^0 = \left| \varnothing^{\varnothing} \right| = | \{ \varnothing \} | = 1}\). Checkmate, a-\(\displaystyle{ 0^0}\)-ists!

\(\displaystyle{ 0^0:6}\), Premislav: \(\displaystyle{ 0}\).

[Premislav]

Akurat z teorii mnogości nie chciałem tego wywalać, o czym pisałem, bo tam szczególnie ważna jest swego rodzaju koherencja.
Punkty 1,2,3 – istotnie występuje tu utrata zwięzłości zapisu (nieduża), ale ja to wolę to niż \(\displaystyle{ 0^0}\).
Punkt 4 – daj spokój, ten wzór nie ma żadnego zastosowania, gdy co najmniej jedna z \(\displaystyle{ a,b}\) jest równa zero…
Natomiast punktem piątym mnie przekonałeś. Pokonany.

[Dasio11]

7. Niech \(\displaystyle{ \left< V_i : 1 \le i \le k \right>}\) będą przestrzeniami liniowymi na ciałem \(\displaystyle{ K}\) wymiaru \(\displaystyle{ n_1, \ldots, n_k}\) odpowiednio. Wiadomo, że wtedy

\(\displaystyle{ \dim V_1 \otimes \ldots \otimes V_k = \prod_{i=1}^k n_i}\).

W szczególnym przypadku \(\displaystyle{ k = 0}\) z własności uniwersalnej bądź ze standardowej konstrukcji iloczynu tensorowego wynika, że \(\displaystyle{ V_1 \otimes \ldots \otimes V_k \cong K}\). Stąd

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^0 n_i = \dim K = 1.}\)

Widzimy zatem, że iloczyn dowolnej zerki liczb daje \(\displaystyle{ 1}\). Podstawiając \(\displaystyle{ n_i = 0}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le 0}\) (czyli de facto nic nie podstawiając), dostajemy \(\displaystyle{ 0^0 = 1}\).