Przedzał zbieżności szeregu potęgowego

[Precelina]

Jak wyznaczyć przedział zbieżności takiego szeregu?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}}\)

Czy za \(\displaystyle{ x^{2n-1}}\) trzeba podstawić zmienną \(\displaystyle{ t^{n}}\) ?

[matmatmm]

Spróbuj z kryterium d'Alemberta.

[MrCommando]

Chcielibyśmy mieć ten szereg zapisany w postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n}\). Zdefiniujmy więc \(\displaystyle{ a_n:= \begin{cases} 0 \textnormal{ dla } n=2k \\ (-1)^{\frac{n+1}{2}+1} \frac{1}{n! n} \textnormal{ dla } n=2k-1 \end{cases}}\), \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\). Zauważmy, że składniki powyższej sumy o numerach parzystych będą zerami, a z kolei o numerach nieparzystych będą postaci \(\displaystyle{ (-1)^{k+1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!(2k-1)}}\), zatem jest to tak naprawdę nasz wyjściowy szereg ale zapisany inaczej. Teraz łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=0}\), zatem na mocy twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda promień zbieżności danego szeregu jest równy \(\displaystyle{ +\infty}\).

[Precelina]

Dziękuje

[matmatmm]

MrCommando, w twoim rozwiązaniu według mnie trzeba jeszcze uzasadnić, że ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n}\) wynika zbieżność wyjściowego szeregu. Ciąg sum częściowych wyjściowego szeregu jest podciągiem ciągu sum częściowych \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n}\), więc jest to dość trywialne, ale trzeba uważać.

[MrCommando]

matmatmm, oczywiście że tak. Uznałem, że to w zasadzie jest oczywiste i nie wspomniałem. Nie mniej dzięki za ten komentarz.