\(\displaystyle{ \sum_{\infty}^{n=1} \dfrac{n+2}{n\cdot7^n} = \sum_{\infty}^{n=1} \dfrac{n+2}{n} \cdot {(\dfrac{1}{7})}^n}\)
\(\displaystyle{ x = \dfrac{1}{7}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{\infty}^{n=1} \dfrac{n+2}{n} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{\infty}^{n=1} \dfrac{n+2}{n} x^n = S(x) / ()'
S'(x)= \sum_{\infty}^{n=1} (n+2)x^{n-1}}\)
I tutaj mam problem bo dalej nie mam pojęcia jak złożyć tę sumę w konkretny wzór aby potem scałkować obustronnie :/
Suma szeregu potęgowego
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Suma szeregu potęgowego
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n}x^n= \sum_{n=1}^{\infty}x^n+2 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1 n x^n}\)
Pierwszą część zwijasz ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, drugą wyliczasz ze scałkowania stronami równości \(\displaystyle{ 2\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n-1}=\frac{2}{1-x}}\) tam, gdzie można.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n}x^n= \sum_{n=1}^{\infty}x^n+2 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1 n x^n}\)
Pierwszą część zwijasz ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, drugą wyliczasz ze scałkowania stronami równości \(\displaystyle{ 2\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n-1}=\frac{2}{1-x}}\) tam, gdzie można.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Suma szeregu potęgowego
Abstrahując od tego, że zamiast \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1}}\) powinno być \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }}\) (domyślam się, że to zwykła literówka) to procedura jest dobra ale można trochę zmienić kolejność działań i zacząć od przekształcania problemu. Nie uważam też, że istnieje tylko jedno słuszne rozwiązanie, ba można to zrobić na co najmniej cztery sposoby. Pójdę jednak Twoją ścieżką rozumowania. Rozważmy sumę:
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+2}{n}x^n}\)
ale zamiast rzucać się od razu na problem rozbijmy go na dwa mniejsze (w promieniu zbieżności):
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+2}{n}x^n=\sum_{n=1}^{ \infty }x^n+2\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n}}\)
Każdą z tych sum można łatwo wyznaczyć pierwsza to zwykła suma szeregu geometrycznego druga idzie przez scałkowanie wystarczy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n}= \sum_{n=1}^{ \infty } \int_{0}^{x}\xi^{n-1} \mbox{d}\xi= \int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{ \infty } \xi^{n-1} \mbox{d}\xi=...}\)
(całkujesz sumę szeregu geometrycznego). Wszystkie obliczenia są wykonywane z założenia w promieniu zbieżności, po drodze powołałem się też na twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego.
PS Widzę, że Premislav mnie wyprzedził to podsyłam Ci dodatkowo inną metodę ZABURZANIE SUM
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+2}{n}x^n}\)
ale zamiast rzucać się od razu na problem rozbijmy go na dwa mniejsze (w promieniu zbieżności):
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+2}{n}x^n=\sum_{n=1}^{ \infty }x^n+2\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n}}\)
Każdą z tych sum można łatwo wyznaczyć pierwsza to zwykła suma szeregu geometrycznego druga idzie przez scałkowanie wystarczy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n}= \sum_{n=1}^{ \infty } \int_{0}^{x}\xi^{n-1} \mbox{d}\xi= \int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{ \infty } \xi^{n-1} \mbox{d}\xi=...}\)
(całkujesz sumę szeregu geometrycznego). Wszystkie obliczenia są wykonywane z założenia w promieniu zbieżności, po drodze powołałem się też na twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego.
PS Widzę, że Premislav mnie wyprzedził to podsyłam Ci dodatkowo inną metodę ZABURZANIE SUM