Szereg Maclaurina

[PolibudaToSieUda]

Cześć, proszę o pomoc z takim zadankiem:

Przedstaw funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^5}{x^3-7x+6}}\) w postaci szeregu Maclaurina i oblicz \(\displaystyle{ f^{9}(0)}\) i \(\displaystyle{ f^{10}(0)}\)

Jak na razie doszedłem do tego, żeby wyznaczyć rozkład na ułamki proste dla \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3-7x+6}}\) i wyciągnąć przed sumę \(\displaystyle{ x^5}\).

[Premislav]

No i bardzo dobry pomysł. Tak na oko:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^3-7x+6}=\frac{1}{(x-1)(x^2+x-6)}=\frac{1}{(x-1)(x+3)(x-2)}=\\=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)}=\frac{1}{(x-2)(x+3)}-\frac{1}{(x-1)(x+3)}=\\= \frac 1 5\cdot \frac{(x+3)-(x-2)}{(x-2)(x+3)}-\frac 1 4\cdot \frac{(x+3)-(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\\=\frac 1 5\cdot \frac{1}{x-2}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{x+3}-\frac 1 4\cdot\frac{1}{x-1}=\\=-\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{1-\frac x 2}+\frac{1}{60}\cdot \frac{1}{1-\left( -\frac x 3\right)}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-x}}\)
i teraz skorzystaj ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-t}= \sum_{t=0}^{+\infty} t^n, \ |t|<1}\)

[PolibudaToSieUda]

Nie wiem skąd to zaćmienie, dziękuję za pomoc