przedział zbieżności szeregu potęgowego
przedział zbieżności szeregu potęgowego
Funkcje\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1+4x^2}}\) oraz jej pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\) rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać promienie ich zbieżności. Nastepnie obliczyć sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n}{4^n}}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 18:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj półpauzy zamiast minusa - LaTeX jej nie widzi.
Powód: Nie używaj półpauzy zamiast minusa - LaTeX jej nie widzi.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
przedział zbieżności szeregu potęgowego
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-\left( -4x^2\right)}}\)
i teraz gdy \(\displaystyle{ \left| -4x^2\right|<1}\), to można to rozwinąć ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{a_0}{1-q}= \sum_{n=0}^{+\infty}a_0q^n}\),
za \(\displaystyle{ q}\) biorąc \(\displaystyle{ -4x^2}\) i za \(\displaystyle{ a_0}\) jedynkę.
Jak się potem nie chce rozwijać pochodnej bezpośrednio, to można skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych: ... iczkowanie
Potem jak do wzoru na pochodną podstawisz \(\displaystyle{ x=\frac 1 4}\) (dlaczego takie? Zgadłem to po prostu), to wyjdzie Ci ta szukana suma.
i teraz gdy \(\displaystyle{ \left| -4x^2\right|<1}\), to można to rozwinąć ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{a_0}{1-q}= \sum_{n=0}^{+\infty}a_0q^n}\),
za \(\displaystyle{ q}\) biorąc \(\displaystyle{ -4x^2}\) i za \(\displaystyle{ a_0}\) jedynkę.
Jak się potem nie chce rozwijać pochodnej bezpośrednio, to można skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych: ... iczkowanie
Potem jak do wzoru na pochodną podstawisz \(\displaystyle{ x=\frac 1 4}\) (dlaczego takie? Zgadłem to po prostu), to wyjdzie Ci ta szukana suma.