przedział zbieżności szeregu potęgowego
przedział zbieżności szeregu potęgowego
Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(x+5)^n}{( \sqrt{n} +2)}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: przedział zbieżności szeregu potęgowego
Wzór Cauchy'ego-Hadamarda masz tutaj:
W przypadku tego zadania \(\displaystyle{ x_0=-5, \ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+2}}\)
Trzeba więc obliczyć (tak naprawdę to będzie zwykła granica)
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to +\infty } \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}+2}}}\)
Nie jest to trudne (Analiza 1), wychodzi \(\displaystyle{ 1}\).
Stąd płynie wniosek, że szereg jest zbieżny, gdy
\(\displaystyle{ |x+5|<1}\), a na brzegach tego przedziału (czyli dla \(\displaystyle{ x=-6}\) i dla \(\displaystyle{ x=4}\)) trzeba sprawdzić zbieżność/rozbieżność oddzielnie, podstawiając i badając zwykłe szeregi liczbowe:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+2}}\) zbieżny z kryterium Leibniza (trzeba sprawdzić założenia) dla \(\displaystyle{ x=-6}\) oraz
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{\sqrt{n}+2}}\) rozbieżny, np. z porównawczego, \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+2}>\frac{1}{n+n}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\) (to dla \(\displaystyle{ x=-4}\)).
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego-HadamardaW przypadku tego zadania \(\displaystyle{ x_0=-5, \ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+2}}\)
Trzeba więc obliczyć (tak naprawdę to będzie zwykła granica)
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to +\infty } \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}+2}}}\)
Nie jest to trudne (Analiza 1), wychodzi \(\displaystyle{ 1}\).
Stąd płynie wniosek, że szereg jest zbieżny, gdy
\(\displaystyle{ |x+5|<1}\), a na brzegach tego przedziału (czyli dla \(\displaystyle{ x=-6}\) i dla \(\displaystyle{ x=4}\)) trzeba sprawdzić zbieżność/rozbieżność oddzielnie, podstawiając i badając zwykłe szeregi liczbowe:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+2}}\) zbieżny z kryterium Leibniza (trzeba sprawdzić założenia) dla \(\displaystyle{ x=-6}\) oraz
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{\sqrt{n}+2}}\) rozbieżny, np. z porównawczego, \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+2}>\frac{1}{n+n}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\) (to dla \(\displaystyle{ x=-4}\)).