Matematyka.pl

Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest okreslony za pomoca wzoru rekurencyjnego:
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=-3\\a_{n+1}=2a_{n}+1\end{cases}}\)
b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}*{n(n+2)}:{(n+1)^{2}\end{cases}}\)
Podaj wzor na wyraz ogolny ciagu \(\displaystyle{ a_n}\)
Jest jakis sposob na to jak to zamienaic?czy zawsze trzeba wpasc na jakis pomysl?

W pierwszym akurat możemy sobie sprawę łatwo rozwiązać. Wystarczy zauważyć, że gdyby we wzorze na n+1-pierwszy wyraz nie było tej jedynki, to mielibyśmy ciąg geometryczny. Spróbujmy się więc jej pozbyć w sposób następujący:
\(\displaystyle{ a_{n} = b_{n} + x \\ a_{n+1} = b_{n+1} + x}\) i wstawmy to do wzoru rekurencyjnego. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ b_{n+1} + x = 2b_{n} + 2x + 1 \\ b_{n+1} = 2b_{n} + x + 1}\)
Wystarczy więc nam teraz przyjąć x = -1 i mamy \(\displaystyle{ b_{n+1} = 2b_{n}}\), czyli ciąg geometryczny o ilorazie q=2, zaś pierwszy wyraz \(\displaystyle{ b_{1} = a_{1} - x = -3+1 = -2}\), więc już nie powinno być żadnego problemu z wyznaczeniem wyrazu ogólnego. Gdyby jednak, to pisz z czym problem.
Zaś co do drugiego to zapis jest nieco mętny - jeśli chodzi o zapis ułamka, to użyj frac{licznik}{mianownik}.

niestety lecz nie przemawia do mnei twoj sposob :/

Nie nie trzeba, zawsze można skorzystać z funkcji tworzących.

Wcale nie miał niczego mówić - przeczytaj go po kolei, jednocześnie robiąc to, co jest tam napisane - nic łatwiejszego nie znajdziesz, bo funkcje tworzące są przypuszczam ponad Twój poziom. Chyba, że wolisz zgadywać, to proszę Cię bardzo, miłej zabawy