Unimodalność szeregu potęgowego.

[MKultra]

Cześć.

Dany jest szereg potęgowy: \(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n=0}^{\infty}A _{n}X ^{n}}\) Oraz na pewnym przedziale \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 \le a<b \le 1}\) owa funkcja jest unimodalna (mam na myśli, że przyjmuje dokładnie tylko jedno maksimum) . Jak zachowuje się ciąg \(\displaystyle{ (a _{n}) _{n \ge 0}}\) ?

Pozdrawiam.

[a4karo]

A jakiego typu odpowiedzi oczekujesz? Jakie własności byłyby istotne?

[MKultra]

A jakiego typu odpowiedzi oczekujesz? Jakie własności byłyby istotne?

Po przeformułowaniu zadania (użyciu pewnych przekształceń) niech \(\displaystyle{ a=0,b=1}\).
Rozpatrzę funkcje \(\displaystyle{ f(n)=A _{n}}\). Chodzi o zbadanie własności/ badanie zmienności owej funkcji to jest:
-czy jest monotoniczna, przedziałami monotoniczna?
-czy ma ekstrema?
-czy ma asymptoty?
-czy da się przedstawić w jakiś rekurencyjny sposób/ powiązać innym nietrywialnym równaniem skończony (nieskończony) zbiór wartości owej funkcji.
-itp.

[a4karo]

A wykonałeś jakieś próby, czy tak po prosty z niczego Ci się to wzięło?

Bo tematu chyba nie przemyślałeś: skoro szereg ma być zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\), to pytanie o asymptoty ma mało sensu (patrz warunek konieczny)

Przykłady \(\displaystyle{ a_n=1/n!}\) i \(\displaystyle{ a_n=(-1)^n/(2n+1)!}\) pokazują jak rozmaite mogą to być rzeczy.

Jeżeli zbiór wartości jest skończony, to współczynniki muszą być zerowe od pewnego miejsca